Problem 178'in Çözümü: Problemin çözümüne geçmeden önce bir Lemma verip ispatlayalım.
Lemma: $L_1, L_2, L_3$ doğrularının her biri $L_4, L_5, L_6$ doğruları ile $A, B, C, D, E, F, G, H, I$ noktalarında kesişiyor. $A, B, C \in L_1$, $D, E, F \in L_2$, $G, H, K \in L_3$, $A, D, G \in L_4$, $B, E, H \in L_5$, $C, F, I \in L_6$ dır. (Aşağıdaki şekle bakınız).
$ \left\{\dfrac{|AB|}{|BC|}, \dfrac{|DE|}{|EF|},\dfrac{|GH|}{|HI|} \right\} $ oranlarından ikisi birbirine eşit olsun. Ayrıca
$\left\{ \dfrac{|AD|}{|DG|}, \dfrac{|BE|}{|EH|},\dfrac{|CF|}{|FI|} \right\} $ oranlarından ikisi birbirine eşit olsun.
Bu durumda üçer oran kendi içinde birbirine eşittir. Yani $\dfrac{|AB|}{|BC|}= \dfrac{|DE|}{|EF|} = \dfrac{|GH|}{|HI|} $ ve $ \dfrac{|AD|}{|DG|} = \dfrac{|BE|}{|EH|} = \dfrac{|CF|}{|FI|} $ olur.
Lemma'nın İspatı: $\dfrac{|AB|}{|BC|}= \dfrac{|GH|}{|HI|}$ ve $ \dfrac{|AD|}{|DG|} = \dfrac{|CF|}{|FI|}$ eşitliklerinin verildiğini düşünelim. İspatın, diğer oran varyasyonlarına da uygulanabileceği görülecektir.
$A$ noktasından geçen ve $L_3$ doğrusuna paralel olan $L_3'$ doğrusunu çizelim. $DI$ doğrusu ile $L_3'$ nün kesişimi $K$ olsun. $ \dfrac{|KD|}{|DI|}= \dfrac{|AD|}{|DG|}= \dfrac{|CF|}{|FI|}$ olup $KC \parallel L_2$ elde edilir. $DH$ doğrusu ile $L_3'$ nün kesişimi $L$ olsun. $ \dfrac{|AL|}{|LK|}= \dfrac{|GH|}{|HI|}= \dfrac{|AB|}{|BC|}$ olup $LB \parallel KC \parallel L_2$ elde edilir.
Böylece $\dfrac{|AD|}{|DG|} = \dfrac{|LD|}{|DH|} = \dfrac{|BE|}{|EH|}$ oranı elde edilir. Benzer biçimde $\dfrac{|AB|}{|BC|}= \dfrac{|DE|}{|EF|} = \dfrac{|GH|}{|HI|} $ olduğu da gösterilebilir.
Şimdi ana problemin çözümüne geçebiliriz.
$ABCD$ dörtgeninde diğer noktaları aşağıdaki şekildeki gibi harflendirelim. Lemma'ya göre $|QJ|=|JI|=|IG|$, $|PT|=|TR|=|RH|$, $|EJ|=|JT|=|TN|$, $|FI|=|IR|=|RM|$ olur. Problem 150'den dolayı, $S_1=\dfrac{1}{3}Alan(EFMN)$ ve $Alan(EFMN)=\dfrac{1}{3}Alan(ABCD)$ olup $$ S_1= \dfrac{1}{9}Alan(ABCD) $$ elde edilir.
Kaynak: gogeomerty sitesindeki
178. problem ve yorum
