Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2014 Soru 1

[geo]

$a_0 < a_1 < a_2 < \cdots$ sonsuz pozitif tam sayılar dizisi olsun. Tam olarak bir tane $n\geq 1$ tam sayısı için $$a_n < \dfrac{a_0 + a_1 + \cdots + a_n}{n} \leq a_{n+1}$$ olduğunu gösteriniz.

[KereMath]

Sağlayan 2 adet değer olsun.sağladığı en küçük değer $a_i$ de elde edilsin.
$a_i\ge \dfrac{a_0+...+a_i-1}{i-1}\ge a_{i-1}$ ifadesini yazarsak gerekli düzenlemelerden sonra
$a_i.i\ge a_0+...+a_i$ elde ederiz. Yani
$a_i\ge \dfrac{a_0+...+a_i}{i}$ elde ederiz ki bu da bir sonraki terimin sağlanmayacağını ifade eder $a_{i+1}\ge a_i$ olduğu için $a_{i+1}\ge \dfrac{a_0+...+a_i}{i}$ sağlanacağından aynı işlemleri devam ettirip bir daha aynı ifadeyi sağlayan bir $a_j$ sayısı bulunamayacağını gösterebiliriz.Bu ilk bölümün ispatı.

[KereMath]

Eğer sağlayan hiç sayı yoksa
$a_1$ sayısı $a_0+a_1$ den küçük olacağından sağ taraf sağlanmamalıdır. Bu da bize $a_0+a_1$ sayısının $a_2$ sayısından büyük olduğunu verir.Gerekli düzenlemeler sonucu $\dfrac{a_0+a_1+a_2}{2}>a_2$ elde ederiz.yani aynı şekilde sağ taraf sağlanmamalı olması gerekmekte.Aynı şekilde devam ettirebiliriz.Genel halini yazarsak
$\dfrac{a_0+a_1...+a_i}{i}>a_{i+1}$ olmalıdır.bu ifadelerin hepsini yazıp taraf tarafa toplarsak.
$a_0.i+a_1.i+a_2(i-1)+...+a_i>i.a_{i+1}+i.a_i+...+a_2$ elde ederiz.
$a_2(i-1)+...+a_i<(i-1)a_i+...+a_2$ olduğunu biliyoruz. Geriye kalan ifade ise $(a_0+a_1)i>(a_{i+1})i$ dir.Ki $a_0+a_1>a_{i+1}$ olmalıdır.$a_{i+1}$ her $i$ ye göre değişir ve artma miktarı en az 1 olduğundan sonsuza doğru gider bu yüzden çelişki elde ederiz.İspat Bitti!