Üçgenin Merkezleri {çözüldü}

[Eray]

Düzlemde dört farklı nokta veriliyor. Biliniyor ki, bu dört noktanın her biri bir $\triangle ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi, diklik merkezi, ağırlık merkezi ve çevrel çemberinin merkezinden biri. Ancak hangi noktanın üçgenin hangi merkezi olduğunu belirleyemiyoruz.
Bu şartı sağlayan tüm $\triangle ABC$ üçgenlerini bulunuz.

[kriptoman]

İPUCU| 4 noktanın doğrudaş olduğunu gösterin.

[ruinfraude]

Eğer hangi noktanın hangi merkez olduğu bilinmiyor ise çakışık olmalılar.Bu da ancak ABC eşkenar üçgeninde mümkündür.

[Eray]

Eğer hangi noktanın hangi merkez olduğu bilinmiyor ise çakışık olmalılar.Bu da ancak ABC eşkenar üçgeninde mümkündür.

Hayır, soru doğru. Hangisinin hangi merkez olduğunu anlayamadığımız durum noktalar farklı olduğunda da var.
Örneğin, atyorum, noktalar $A,B,C,D$ iken hem $A=I, B=O, C=H, D=G$, hem de $A=G, B=I, C=O, D=H$ durumları mümkün, gibi.

[kriptoman]

Eğer hangi noktanın hangi merkez olduğu bilinmiyor ise çakışık olmalılar.Bu da ancak ABC eşkenar üçgeninde mümkündür.

eğer hepsi aynı noktada ise ve soru yanlış ise de bunu ispatlamak gerek. Bence bunu ispatlamak gerçek sorudan çok daha zor( bence imkansız çünkü soru doğru )

[MATSEVER 27]

Bu sorunun çözümü varsa paylaşabilir misiniz, teşekkürler.

[Eray]

Çözümün önemli kısmını anlatıp son kısmı okuyucuya bırakayım

Çözüm:

$ABC$ üçgeninde $H,G,O$ noktalarının doğrusal olduğunu, ayrıca doğru üzerinde $H-G-O$ sırasında bulunduklarını ve $|HG|/|GO|=2$ olduğunu biliyoruz.

Verilen noktaların dördü birden bir doğru üzerinde değilse; üçü bir doğru üzerinde, dördüncüsü dışarıda olmak zorundadır. $|HG|/|GO|=2$ olduğundan doğrusal üç nokta arasında $H,G,O$ nun hangileri olduğunu belirleyebiliriz. Dışarıdaki dördüncü nokta da $I$ olur. Ancak belirleyemediğimiz soruda verilmişti; çelişki.

Yani verilen noktaların dördü birden bir doğru üzerindedir. Ayrıca $H$ ve $O$ noktaları izogonal eşlenik olduklarından $AI$ doğrusu $AH$ ve $AO$ doğrularının arasındadır, o halde $H,G,O,I$ noktalarının bulunduğu doğruda $I$ noktası $[HO]$ doğrusu parçası üzerinde bulunur. Yani dört noktadan baştaki ve sondaki noktalardan biri $H$, biri $O$ dur.

Aradaki iki nokta $[HO]$ doğru parçasını $3$ eşit parçaya bölmüyorsa; $1$ e $2$ oranında bölen yegane nokta $G$ olacağından $G$ noktasını belirleriz. $1$ e $2$ oranından $H$ ve $O$ yu da belirleriz. Kalan nokta da $I$ olur. Ancak belirleyemediğimiz soruda verilmişti; çelişki.

Yani aradaki iki nokta $[HO]$ doğru parçasını $3$ eşit parçaya bölmelidir. Diğer bir söyleyişle; bu dört nokta doğru üzerinde eşit aralıklarla yerleşmişlerdir. Bu durumda $I$, $[HG]$ doğru parçasının orta noktasıdır.

Üçgen ikizkenar değilse, bu dört noktanın bulunduğu doğru köşelerin hiçbirinden geçmez. O halde açıortay teoreminden $|AO|/|AH|=2, |BO|/|BH|=2, |CO|/|CH|=2$ eşitlikleri olmalıdır. $|AO|=|BO|=|CO|$ olduğundan bu, $|AH|=|BH|=|CH|$ anlamına gelir. Yani $H$ ile $O$ çakışık olur. Ancak noktaların farklı olduğu soruda verilmişti; çelişki.

Yani üçgen ikizkenardır. Genelliği bozmadan $AB=AC$ kabul edelim. Böyle bir $ABC$ üçgeninde $I$ noktasının ne zaman $[HG]$ doğru parçasının orta noktası olacağını bulmayı size bırakayım
Bu son kısım da çözülmezse ve anlatılması istenirse anlatabilirim.

[MATSEVER 27]

Teşekkür ederim.

[Lokman Gökçe]

$|AB|=|AC|$ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde $[AK]$ bir yükseklik olsun. Bu durumda $A-O-G-I-H-K$ sıralaması oluşmalı. Diğer durumları inceledim, hep çelişki çıkıyor ve üçgen oluşmuyor. Açıortay teoremi ve diklik merkezi özellikleriyle $|AO|:|OG|:|GI|:|IH|:|HK|=8:2:2:2:1$ oranı buldum. Bu verilerle kenarlar arasında $|AB|=|AC|=2|BC|$ oranı elde ediliyor.

Yani sorudan anladığım: $|AB|=|AC|=2|BC|$ kenar oranlarına sahip bir üçgende $H,G,I,O$ noktaları işaretlendikten sonra bu işaretli noktalar hariç geri kalan her köşe, çizgi ve harflendirmeler silinirse, sonra da bu silmediğimiz dört noktanın bir üçgenin dört özel noktası (diklik merkezi, çevrel merkezi, üçgensel bölgenin ağırlık merkezi, iç teğet çemberin merkezi) olduğu söylenirse, bu noktaların hangisinin hangi özel nokta olduğunu ayırt edemeyiz. Çünkü $H$ ile $O$ yer değiştirebiliyor, Buna karşılık $G$ ile $I$ yer değiştirebiliyor. Noktalar soldan sağa doğru sıralanmış olarak verilmiş olsun. Sıralamayı $O-G-I-H$ ya da $H-I-G-O$ buluyoruz. Fakat hep $\% 50 $ şans faktörü oluyor, emin olamıyoruz.

Çok değişik bir soruydu.