yükseklik-1 {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$m(\widehat{BAC})=22,5^\circ$ olan dar açılı $ABC$ üçgeninde $[BD]$ ve $[CE]$ iki yüksekliktir. $|DE|=3\sqrt2$ ise, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı nedir?

(L. Gökçe)

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ üçgeni ile $ADE$ üçgeni benzer üçgenlerdir. Bu benzerliğe göre, $\dfrac{3\sqrt{2}}{BC}=\dfrac{AE}{AC}=\cos22,5^\circ \tag{1}$ dir. Ayrıca $ABC$ üçgeninde sinüs teoreminden $\dfrac{BC}{2R}=\sin22,5^\circ \tag{2}$ dir. $(1)$ ve $(2)$ den $ \sin(22,5).\cos(22,5) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2R} \Rightarrow R.\sin45 =3\sqrt{2} \Rightarrow R = 6$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Farklı bir çözüm de dokuz nokta çemberi ile yapılabilir:

$A$ dan inen yükseklik ayağı da $F$ olsun. $DEF$ ortik üçgendir. $A$ noktası $DEF$ üçgeni için $F$ noktasına göre dış teğet çemberinin merkezidir. Böylece $$ m(\widehat{DAE})=90^\circ - \frac{m(\widehat{DFE})}{2}$$ dir. Buradan $m(\widehat{DFE})=135^\circ $ elde edilir.

Ayrıca $DEF$ ortik üçgeninin çevrel çemberi $ABC$ üçgeninin dokuz nokta çemberidir ve $ABC$ üçgeninin çevrel çember yarıçapı, dokuz nokta çemberinin çevrel çemberinin yarıçapının $2$ katıdır. Bu durumu $R_{ABC}=2R_{DEF}$ ile gösterelim.

Şimdi  $DEF$ üçgeninde sinüs teoremini uygularsak
$$ \frac{|DE|}{\sin{135^\circ}}=2R_{DEF}$$ olup $|DE|=3\sqrt{2}$ verildiğinden, $R_{ABC}=2R_{DEF}=6$ elde edilir.