Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 29

[geo]

$ABC$ dik üçgeninde $[AB]$ hipotenüsünün orta noktası $D$, çevrel çember yarıçapı $\dfrac 52$ ve $|BC|=3$ olduğuna göre, $ACD$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ile $BCD$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi arasındaki uzaklık nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {29}{2}
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 52
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5\sqrt{34}}{12}
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 2
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$I$, $\triangle BCD$ nin içmerkezi; $O$, $\triangle ACD$ nin çevrel merkezi olsun.
Basit hesaplarla, $BC=3$, $AC=4$ ve $BA=5$ olduğu fark edilir.
$BDC$ üçgeninde içteğet çember $BD$ ye $T$ de değsin. $DT = 4-3 = 1$ dir. Benzerlikten ya da trigonometriden $DI=\dfrac{5}{4}$ olarak hesaplanır.

$ACD$ üçgeninde $DC$ nin orta noktası $M$ olsun. $\triangle DOM \sim \triangle BAC$ olduğu için $DM : DO = 3:5$ ve $DO = \dfrac{25}{12}$ olur.
$ODI$ dik üçgeninde dik kenarlar $\dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{12} \cdot 3 $ ve $\dfrac{25}{12} = \dfrac{5}{12} \cdot 5$ olduğu için $IO= \dfrac{5}{12}\cdot \sqrt {3^2 + 5^2} = \dfrac{5\sqrt {34}}{12}$ elde edilir.