Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 25

[geo]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde, $[AB]$ nin orta noktası $D$, çevrel çemberin merkezi $O$ dur. $ADO$ üçgeninin çevrel çemberi, $[AC]$ yi $A$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $|AE|=7$, $|DE|=8$ ve $m(\widehat{AOD}) = 45^\circ$ olduğuna göre $ABC$ üçgeninin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 56\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ 56 \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 50 \sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 84
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$AO=OB$ olduğu için $OD \perp AB$ dir.
$ADOE$ kirişler dörtgeni olduğu için $\angle AEO = 90^\circ$ ve $\angle AED = \angle AOD = 45^\circ$ dir.
$AO=OC$ ve $OE \perp AC$ olduğu için $AE=EC$ dir.
Bu durumda, $[ABC] = 4 \cdot [ADE] = 4 \cdot \dfrac 12 \cdot DE \cdot AE \cdot \sin \angle AED = 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \dfrac {\sqrt 2}{2}=56\sqrt 2$.