Bu ispat için $2^{2001}+3^{2001}\equiv 0\pmod{p}$ ve $2^{2001}+3^{2001}\not\equiv 0\pmod{p^2}$ olacak şekilde bir $p\geq 5$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. $(p,3)=(p^2,3)=1$ olduğundan $3$'ün hem $p$ hem de $p^2$ modunda tersi vardır. Bu durumda $$2^{2001}+3^{2001}\equiv 0\pmod{p}\iff \left(\frac{2}{3}\right)^{2001}\equiv -1\pmod{p}$$ $$2^{2001}+3^{2001}\not \equiv 0\pmod{p^2}\iff \left(\frac{2}{3}\right)^{2001}\not\equiv -1\pmod{p^2}$$ $\phi(p)=p-1$ ve $\phi(p^2)=p(p-1)$ olmasından dolayı $p(p-1)\mid 2000$ olması işlemlerimizi çok sadeleştirecektir. Bu şartı sağlayan bir $p$ için Euler teoreminden $\frac{2}{3}\equiv -1\pmod{p}$ ve $\frac{2}{3}\not\equiv -1\pmod{p^2}$ olup olmadığını kontrol etmeliyiz. $\frac{2}{3}\equiv -1$'den direkt olarak $p=5$'in bakmamız gereken asal olduğunu anlayabiliriz. Gerçekten de $$\frac{2}{3}\equiv \frac{27}{3}\equiv 9\not\equiv -1\pmod{25}$$ olduğundan $p=5$ aradığımız bir asaldır. Yani $5\mid (2^{2001}+3^{2001})$ fakat $5^2\not\mid (2^{2001}+3^{2001})$'dir. Buradan $k=1$ olması gerektiği sonucu çıkar.
