Yanıt: $\boxed{A}$
$|2a+b|+|a+2b|\geq|a|+|b|$ eşitsizliği gereği sonlu adım sonunda altılıdaki sayıların mutlak değerleri toplamı azalmaz. İspatlayalım.
$a,b\geq0$ ve $a,b < 0$ durumlarında eşitsizliğin doğruluğu açıktır. Genelliği bozmadan $a\geq0 > b$ durumu için ispatlayalım.
Eşitsizlikte $a$ sayısının kritik noktaları $a=-\dfrac{b}{2}$ ve $a=-2b$ dir. Ayrıca $b < 0$ olduğundan $-2b > -\dfrac{b}{2}$ dir. $a$ sayısı için $3$ durum söz konusudur:
Durum 1: $a\geq -2b$
$|2a+b|+|a+2b|\geq|a|+|b| \Longleftrightarrow (2a+b) + (a+2b) \geq a-b \Longleftrightarrow 2a \geq -4b \Longleftrightarrow a\geq-2b$ ki bu zaten kabulumüzdür.
Durum 2: $-2b>a\geq -\dfrac{b}{2}$
$|2a+b|+|a+2b|\geq|a|+|b| \Longleftrightarrow (2a+b) + (-a-2b) \geq a-b \Longleftrightarrow 0\geq 0$ eşitsizliği doğrudur.
Durum 3: $-\dfrac{b}{2}> a$
$|2a+b|+|a+2b|\geq|a|+|b| \Longleftrightarrow (-2a-b)+(-a-2b)\geq a-b \Longleftrightarrow -2b \geq 4a \Longleftrightarrow -\dfrac{b}{2}\geq a$ ki bu zaten kabulümüzdür.
Eşitsizliği ispatlamış olduk.
Başlangıçta tahtada yazılı olan $(-1,2,-3,4,-5,6)$ altılısındaki sayıların mutlak değerleri toplamı $21$ dir. $(0,1,1,3,6,-6), (0,0,0,3,-6,9), (0,1,1,-3,6,-9), (0,0,2,5,5,6)$ altılılarındaki sayıların mutlak değerleri toplamı sırasıyla $18, 18, 20, 18$ olduğundan bu altılıları elde etmek mümkün değildir.
$(0,0,0,3,-9,9)$ altılısı, her adımda kırmızı renkle belirtilen sayılar işleme sokularak şu şekilde elde edilebilir:
$(\color{red}{-1},\color{red}2,-3,4,-5, 6)\longrightarrow ({\color{red}0},{\color{red}3},-3,4,-5, 6)$
$(0,3,\color{red}{-3},4,-5,{\color{red}6})\longrightarrow (0,3,{\color{red}0},4,-5,{\color{red}9})$
$(0,3,0,{\color{red}4},\color{red}{-5},9)\longrightarrow (0,3,0,{\color{red}3},\color{red}{-6},9)$
$(0,{\color{red}3},0,3,\color{red}{-6},9) \longrightarrow (0,{\color{red}0},0,3,\color{red}{-9},9)$
Dolayısıyla $(0,0,0,3,-9,9), (0,1,1,3,6,-6), (0,0,0,3,-6,9), (0,1,1,-3,6,-9), (0,0,2,5,5,6)$ altılılarından sadece biri elde edilebilir.
