Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 23

[ERhan ERdoğan]

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $$(x^2+2x+8-4\sqrt{3})\cdot(x^2-6x+16-4\sqrt{3})$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 112-64\sqrt{3}
\qquad\textbf{b)}\ 3-\sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ 8-4\sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{3}-4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Eray]

(Eray Atay)

Yanıt: $\boxed{A}$

$(x^2 + 2x+8-4\sqrt 3) \cdot (x^2-6x+16-4\sqrt 3) = \left [(x+1)^2 + (2-\sqrt 3)^2 \right ] \cdot \left [(x-3)^2 + (2-\sqrt 3)^2 \right ]$
$x$'li terimleri $0$ yapan sayılar $-1$ ve $3$ olduğundan, ifadenin en küçük değeri için $x$'in $-1$ ve $3$ arasında olması gerektiği açıktır. Çünkü aksi takdirde ifade daha büyük olacaktır.
$-1<x<3$ seçileceği için, $x-3$ yerine pozitif olması adına $3-x$ yazılıp Cauchy-Schwarz eşitsizliği uygulanırsa, $$\begin{array}{lcl}
\left [(x+1)^2 + (2-\sqrt 3)^2 \right ] \cdot \left [(2-\sqrt 3)^2 + (3-x)^2 \right ] &\geq & \left[ (x+1)(2-\sqrt 3) + (2-\sqrt 3)(3-x)\right ]^2 \\
&=& [(2-\sqrt 3) \cdot 4]^2 \\
& =& 112 - 64\sqrt 3
\end{array}$$ bulunur.