Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$m^n =n^{m-n}$ eşitliğini sağlayan tüm $m,n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE): Ana denklemimiz

$ m^n = n^{m-n} \tag{1}$

dir. $m=n$ durumunda $(m,n)=(1,1)$ çözümü vardır. $m<n$ durumunda $n^{m-n} \not\in \mathbb Z^+$ olup çözüm yoktur.

O halde $m>n>1$ durumuna bakalım. $m^n = n^{m-n} < m^{m-n}$ olup $n<m-n \implies m>2n$ elde edilir. $\text{obeb}(m,n)=d$ dersek $m=ad$, $n=bd$ ve $\text{obeb}(a,b)=1$ olacak şekilde $ a, b \in \mathbb Z^+$ vardır. Bu değerleri $(1)$ denkleminde yazarsak $a^nd^n = b^{m-n}d^{m-n}$ olup

$a^n = b^{m-n}d^{m-2n} \tag{2}$

elde edilir. Bu denkleme göre $b \mid a^n$ olup $1=\text{obeb}(a,b)=\text{obeb}(a^n,b)=b$ olup $b=1$, $n=d$ elde edilir. Dolayısıyla

$ a=d^{a-2}, \qquad m=d^{a-1}, \qquad n=d \tag{3}$

eşitliklerine ulaşırız. Ana fikrimiz şudur: $d^{a-2}$ çok hızlı arttığından $a=d^{a-2}$ denkleminin çok sınırlı sayıda çözümü gelecektir. O halde bu fikir üzerinde düşünerek $a=d^{a-2}$ denkleminin $d\geq 1$ ve $a>2$ koşulları altındaki çözümlerini araştıralım:

$\bullet$ $d=1$, $a>2$ için $a=d^{a-2}$ denkleminin çözümü yoktur.

$\bullet$ $d=2$ için $a=2^{a-2}$ olup $a\in \{ 4, 8, 16, 32, \dots \}$ olur. Yalnızca $a=4$ değeri sağlar ve $(m,n)=(8,2)$  çözümüne ulaşılır.

$\bullet$ $d=3$ için $a=3^{a-2}$ olup $a\in \{ 3, 9, 27, 81, \dots \}$ olur. Yalnızca $a=3$ değeri sağlar ve $(m,n)=(9,3)$  çözümüne ulaşılır.

$\bullet$ $d\geq 4$ ve $a>2$ için $a=d^{a-2}$ denkleminin çözümü olmadığını gösterelim. $a=d^{a-2} \geq 4^{a-2}$ dir. $16a \geq 4^a $ eşitsizliğinde $a=3$ yazarsak $16\cdot 3 \geq 4^3$ olup yanlıştır. Yine $a\geq 4$ tam sayıları için $4^a$ ifadesi, $16a$ ya göre çok hızlı artacaktır ve $16a \geq 4^a $ olması mümkün değildir. Böylece $d\geq 4$ ve $a>2$ tam sayıları için $a=d^{a-2}$ denkleminin çözümü yoktur.

Böylelikle $(1)$ ana denkleminin tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı çözüm ikilileri $(1,1), (8,2), (9,3)$ olarak bulunur.

[geo]

$(m,n)=(1,1)$ bir çözümdür. Onun haricinde $m > n$ olmalı.
$k >1$ bir tam sayı olmak üzere, $m = n^k$ olmalı. Aksi takdirde $m$ nin $n$ yi bölmeyen asal çarpanı $p$ için $p \mid m^n$ iken $p \not \mid n^{m-n}$ olacaktır.
$(n^k)^n = n^{n^k - n} \Rightarrow kn = n^k - n \Rightarrow n(k+1) = n^k \Rightarrow k+1 = n^{k-1} \Rightarrow \sqrt[k-1]{k+1} = n$.

$\dfrac {(k+1) + \overbrace{1+1+\dots + 1}^{k-2 \ \text { adet}}}{k-1} \geq \sqrt[k-1]{k+1} = n$

$\dfrac{2k-1}{k-1} = 2 + \dfrac{1}{k-1} \geq n \Rightarrow 3 \geq 2 + \dfrac {1}{k-1} \geq n$ olacaktır.

Bu durumda sadece $n=2$ ve $n=3$ durumlarını inceleyeceğiz.

$n=3$ için eşitsizlikteki eşitliğin sağlanması için $k=2$ olmalı. $(m,n)=(9,3)$ bir çözümdür.

$n=2$ için $2^{k-1} = k+1 = (k-1) + 2 \Rightarrow 2^{k-1} - (k-1) = 2$. Sol taraf artan bir fonksiyon olduğu için tam olarak bir değer için $2$ ye eşit olur. Biraz denemeyle $k=3$ bir çözüm olarak elde edilir. Buradan da $(m,n)=(8,2)$ çözüm olarak gelir.

Toplamda $(1,1),(8,2),(9,3)$ olmak üzere $3$ çözüm elde etmiş olduk.