Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1998 Soru 1

[Lokman Gökçe]

$111\dots 11222 \dots 225$ sayısında $1997$ tane $1$ rakamı ve $1998$ tane $2$ rakamı vardır. Bu sayının bir tam kare olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

$1111\dots 1122\dots 2225=111111\dots 111+1111\dots 111+3$ şeklinde yazalım. İlkinde $3996$ tane $1$, ikincisinde de $1998$ tane $1$ vardır. Sonlu geometrik toplam formülünden:
$$\dfrac{10^{3996}-1}{9}+\dfrac{10^{1999}-1}{9}+3=\dfrac{10^{3996}+10^{1999}+25}{9}
=\left( \dfrac{10^{1998}+5}{3}\right )^2$$ bir tam karedir. Çünkü $10^{1998}+5 \equiv 1+5 \equiv 0 \pmod 3 $ olup $\dfrac{10^{1998}+5}{3}$ bir tam sayıdır.



Not: 2009'da forumda http://geomania.org/forum/index.php?topic=1612.0 bağlantısında bu soruyu sormuşuz. Aynı çözümü düzenlenerek ekliyorum. (10 yıl geçmiş, ne güzel )