Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2008 Soru 5

[geo]

$n$ ve $k$ pozitif tam sayı olmak üzere, $k \geq n$  ve $k - n$ çift sayıdır. $1, 2, \dots , 2n$ sayılarıyla numaralandırılmış $2n$ tane lambanın herbiri açık veya kapalı durumda olabiliyor. Başlangıçta lambaların hepsi kapalı durumdadır. Her hamlesinde bir lamba seçilerek, seçilen lambanın durumunu değistiren (açıktan kapalıya veya kapalıdan açığa) hamleler dizileri tanımlayalım.
Sonucunda $1$ den $n$ ye kadar olan lambaları açık ve $n + 1$ den $2n$ ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve $k$ hamle içeren tüm hamleler dizilerinin sayısı $N$ olsun.
Sonucunda yine $1$ den $n$ ye kadar olan lambaları açık ve $n + 1$ den $2n$ ye kadar olan lambaları kapalı duruma getiren ve $k$ hamle içeren, fakat $n + 1$ den $2n$ ye kadar olan lambalarla hiç hamle yapmayan tüm hamleler dizilerinin sayısı $M$ olsun.
$N/M$ oranının değerini bulunuz.