Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2013 Soru 07

[Lokman Gökçe]

$n$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için, $x^2+y^2=n$ ve $1\leq x \leq y$ koşullarını sağlayan tam olarak bir $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 259
\qquad\textbf{b)}\ 257
\qquad\textbf{c)}\ 221
\qquad\textbf{d)}\ 185
\qquad\textbf{e)}\ 165
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{B}$

Soru deneme sorusu.
Öncelikle $x^2+y^2\equiv0,1,2\pmod4$ olabilir.(Bkz. Kare Kalanlar)
$259\equiv3\pmod4$ olduğundan $x^2+y^2$ şeklinde yazılamaz. $257,221,185,165\equiv1\pmod4$ olduğundan $x^2+y^2$ şeklinde yazıldıklarında $x$ ve $y$'den biri tek, diğeri çift olmalıdır.

$1$'den $16$'ya kadarki tamkareler:
Tekler $\longrightarrow 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225$
Çiftler $\longrightarrow 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256$

Her iki satırdan birer sayı alarak toplamlar oluşturulursa,

$221=121+100=196+25$ sayısı için $2$ farklı $(x,y)$ ikilisi olduğu görülür.
$185=169+16=121+64$ sayısı için $2$ farklı $(x,y)$ ikilisi olduğu görülür.
$165$ sayısı için $(x,y)$ ikilisinin olmadığı görülür.
$257=256+1$ sayısı için tek bir $(x,y)$ ikilisi olduğu görülür.