Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 17

[ERhan ERdoğan]

$ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesindeki bir $D$ noktası, $|AD|=8 , |BD|=13$ ve $m\left ( \widehat{ADC} \right )=120^{\circ}$ koşullarını sağlıyorsa $|CD|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 13
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

[geo]

$\triangle ADB \cong AEC$ olacak şekilde üçgenin dışında bir $E$ noktası alalım.
$AE=AD=ED=8$ ve $\angle EDC = \angle ADC - \angle ADE = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$ dir.
$\triangle EDC$ de kosinüs teoreminden $DC$ yi bulabileceğimiz gibi $E$ den $DC$ ye yükseklik indirerek de çözüme gidebiliriz.
$E$ den inen yüksekliğin ayağı $H$ olsun. $DH=4$ ve $EH = 4\sqrt 3$.
$\triangle EHC$ de Pisagordan $EC=\sqrt {13^2 - (4\sqrt 3)^2} = 11$ ve $DC=11+4=15$ tir.

Not:
Bu soru tipinin genel çözümü Lise 1. Aşama 2011/17 in çözümünde verilmiştir.