simson-wallace doğrusu ve uygulamaları

[ERhan ERdoğan]

Problem 1: ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde alınan bir P noktasından üçgeninin kenarlarına( veya uzantılarına) indirilen dikme ayaklarının doğrusal olduğunu gösteriniz. Bu doğruya ABC üçgeninin P noktasına nazaran simson doğrusu denir.

Problem 2: Çevrel çember merkezi O olan bir ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde alınan P ve Q noktalarına göre çizilen Simson doğrularının belirttiği açı ölçüsünün, POQ açısının ölçüsünün yarısı olduğunu gösteriniz.

Problem 3: Bir üçgenin çevrel çemberinin herhangi bir çapının uç noktalarına göre çizilen Simson doğruları dik kesiştiğini gösteriniz.

Problem 4: Düzlemde verilmiş bir noktadan aynı düzlemdeki bir üçgenin kenarlarına inen dikme ayakları doğrusalsa, o noktanın üçgenin çevrel çemberinin üzerinde olduğunu gösteriniz.

Problem 5: Bir ABC üçgeninde A’ya ait yükseklik ayağının ABC üçgeninin çevrel çemberi kestiği nokta P olsun. P noktasına göre Simson doğrusunun çevrel çembere A’dan çizilen teğete paralel olduğunu gösteriniz.

Problem 6: ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde alınan bir P noktasından BC ve CA kenarlarına indirilen dikme ayakları sırasıyla X ve Y, A ve B noktalarından XY doğrusuna indirilen dikme ayakları da sırasıyla U ve V olsun. XY = VU olduğunu gösteriniz.

Problem 7: ABC üçgeninin R yarıçaplı çevrel çemberi üzerinde alınan bir P noktasından BC ve CA kenarlarına indirilen dikme ayakları sırasıyla X ve Y, P’nin XY’ye uzaklığı da d olsun. PA∙PX = 2Rd olduğunu gösteriniz.

[ERhan ERdoğan]

Problem 8: [IMO–2003]. ABCD kirişler dörtgeni olup D noktasından BC, CA ve AB’ye inilen dikme ayakları sırasıyla P, Q, R noktaları olsun. PQ = QR olması için gerek ve yeter şart ABC ve ADC açılarının AC üzerinde kesişmesidir.

Problem 9: (IMO-Shortlist–1997). ABC üçgeninin BC kenarı üzerinde B ve C’den farklı olarak bir D noktası alınsın. AD, üçgenin çevrel çemberini X noktasında kessin. X noktasından AB ve AC’ye inilen dikme ayakları sırasıyla P ve Q olsun. XD çaplı çemberin PQ’ye paralel olması için gerek ve yeter şart AB = AC olmasıdır.

Problem 10: ABC üçgeninde AC > AB olup BC nin orta dikmesi ile A açısının iç açıortayının kesim noktası P’dir. P’den AB ve AC’ye inilen dikme ayakları sırasıyla Q ve R’dir. QR ile BC’nin kesim noktası S olmak üzere BS = SC olduğunu ispatlayınız.

Problem 11: ABCD kirişler dörtgeni ve BCD üçgeninin A’ya nazaran Simson doğrusu ile ACD üçgenini B’ye nazaran Simson doğrusunun kesim noktası X olsun. ABD üçgeninin diklik merkezi H olmak üzere H, C, X noktalarının doğrusal olduğunu kanıtlayınız.

Problem 12: ABC üçgeninin iç teğet çemberi BC, CA, AB kenarlarına sırasıyla D, E, F noktalarında teğet olup merkezi I noktasıdır. AI, BI ve CI ise iç teğet çemberi sırasıyla M, N, P noktalarında kessin. DEF ve MNP üçgenlerinin çevrel çemberleri üzerindeki herhangi bir noktaya göre Simson doğrularının dik kesiştiğini kanıtlayınız.

Problem 13: Diklik merkezi H olan herhangi bir ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde herhangi bir P noktası alınsın. P noktasının üçgenin kenarlarına göre simetriklerine de P1, P2, P3 diyelim. P1, P2, P3 ve H noktalarının doğrusal olduğunu gösteriniz.