Açı-Kenar-Çizim-Çember {çözüldü}

[geo]

A₀ açısının kollarının biri üzerinde bir A₁ noktası alınıyor. A₁ merkezli, A₀'dan geçen çemberin, açının A₁'i içermeyen kolunu kestiği noktaya A₂ diyoruz. Benzer şekilde A₂ merkezli, A₁'den geçen çemberin açının A₂'yi içermeyen kolunu kestiği noktaya A₃ diyoruz. Bu işlemi, benzer şekilde, her i pozitif tam sayısı için |A_iA₀| < |A_i+2A₀| olacak şekilde devam ettiriyoruz. A₁₀ noktasını koyduktan sonra, A₁₀ merkezli, A₉'dan geçen  çemberi çizdiğimizde, çemberin, açının A₁₀'u içermeyen kolunu |A₉A₀| < |A₁₁A₀| olacak şekilde kesemediğini görüyoruz. Buna göre, m(A₀)'nın derece cinsinden alabileceği kaç tam sayı değer vardır?

[ERhan ERdoğan]

  Anladığım kadarıyla |A₉A₀| ≥ |A₁₁A₀|  olacak şekilde kesiyor.Bu durumda 9≤m(A₀)<10  olup tek tamsayı değer alır.
Ardışık açılar yazma yöntemiyle ortak kenar kullanan dokuz ikizkenar üçgen çizilir.Son bulunan ikizkenar üçgenin taban açıları 9m(A₀) olmaktadır, buradan 18m(A₀)<180 den m(A₀)<10  ve son çizilen çember ya A₉ da teğet olacak ki bu durumda m(A₀)=9  ya da A₉ ile A₀ arasında açıyı kesecek bu durumda da 10m(A₀)>90 dan m(A₀)>9 olur.

[geo]

m(A₀)=x olsun.
i pozitif tam sayısı için, A_iA_i-1A_i+1 ikizkenar üçgeninin taban açısı, i.x olacaktır.
A_n noktası koyulmuş, A_n+1 noktası |A_n-1A₀| < |A_n+1A₀| şartını sağlamıyor.
Bu durumda A_nA_n-1A_n+1 üçgeni çizilemedi.
Bir önceki çizilen üçgen A_n-1A_n-2A_n. Taban açısı (n-1)x.
Bir ikizkenar üçgenin taban açısı 90'dan küçük olmalı. (n-1)x<90 ise x < 90/(n-1) elde ederiz.
A_nA_n-1A_n+1  belirtilen şartlarda çizilebilseydi, x < 90/n olacaktı.
Çizilemediği için x≥90/n olmalı.
O halde, 90/(n-1)> m(A₀) ≥90/n şartı sağlanmalı.
n=10 için;  90/9 = 10 > m(A₀) ≥ 90/10 = 9 şartını sağlayan tek tam sayı 9'dur. O halde, m(A₀)'nın derece cinsinden alabileceği sadece bir tam sayı değer vardır.

Aşağıdaki tabloda n'nin değerleri için, m(A₀)'nın alabileceği tam sayı değerler listelenmiş. Tabloda yer almayan n değerleri için, ( 90/(n-1), 90/n] aralığında herhangi bir tam sayı yoktur.

n	90/(n-1)	90/n	Tam Sayı Çözümler	Tam Sayı Çözüm Sayısı
2	90	45	45,46,…,88,89	45
3	45	30	30,31,…,43,44	15
4	30	22   1/2	23,24,25,26,27,28,29	7
5	22   1/2	18	18,19,20,21,22	5
6	18	15	15,16,17	3
7	15	12   6/7	13,14	2
8	12   6/7	11   1/4	12	1
9	11   1/4	10	10,11	2
10	10	9	9	1
12	8   2/11	7   1/2	8	1
13	7   1/2	6  12/13	7	1
15	6   3/7	6	6	1
18	5   5/17	5	5	1
23	4   1/11	3  21/23	4	1
30	3   3/29	3	3	1
45	2   1/22	2	2	1
90	1   1/89	1	1	1