Üçgende Alan {çözüldü}

[geo]

ABC üçgeninde kenarlar arasında
a⁴+b⁴+c⁴=3848
kenarortaylar arasında
m_a²+m_b²+m_c² = 75
bağıntısı olduğuna göre [ABC]^*=?

^*[ABC]=Alan(ABC)

[alpercay]

Çözüm. İyi bilinen 3(a² + b² + c²) = 4((m_a)² +(m_b)² + (m_c)²) eşitliğinden   a² + b² + c² = 100 bulunur.
a² + b² + c²  ifadesinin kare açılımından elde edilen
a²b² + a²c² + b²c² = 3076 değerini bir kenara yazalım.Elimizdeki bu verilerden üçgenin alanına geçmek istiyoruz.Kosinüs teoremi ve sinüslü alan formülü işimize yarar gözüküyor.Alan (ABC) = S olmak üzere Kosinüs teoreminden devam edelim.
a² + b² - c² = 2abCosC
(a² + b² - c²)² = 4a²b²cos²C =4a²b²(1 - sin²C) = 4a²b² - 4(absinC)² = 4a²b² - 16.S²....(1)
Benzer şekilde
4a²c² - 16S² =(a² + c² - b²)²....(2)
4b²c² - 16S² = (b² + c² - a²)²....(3)  yazılıp bu üç eşitlik toplanırsa
4(a²b² + a²c² + b²c²) -48S² = (a² + b² - c²)² + (a² + c² - b²)² + (b² + c² - a²)²
4.3076 - 48.S² = 3.3848 - 2.3076
S² = 144 ten   S = 12 birimkare bulunur.