40 Soru

[geo]

40 Geometri Sorusu
*Sonlardaki sorular daha önce forumda soruldu.

[ERhan ERdoÄŸan]

çözüm-1: http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/ic-teget-r1r2r3r/

[ERhan ERdoÄŸan]

çözüm-2:

[alpercay]

Soru 9. İçerisinde alınan bir noktanın köşelerine uzaklığı 1,4,7,8 olan bir paralelkenarın alanının alabileceği en büyük değer nedir?
 
Çözüm 9. Paralelkenarımız ÅŸekildeki gibi olsun.Alan(ABCD) = S = 2(S₁ + S₂) olduÄŸu açıktır.Åžimdi APB üçgenini  DP'C  üçgenini oluÅŸturacak ÅŸekilde öteleyelim.Bu durumda   S = Alan(PDP'C) olup     S nin en büyük deÄŸerini alması demek bu dörtgenin alanının en büyük deÄŸerini alması demektir.Kenarları belli olan basit bir dörtgeninin alanı  en  büyük deÄŸerini  en genel anlamda  dörtgen kiriÅŸler dörtgeni iken alacağından(bakınız  http://geomania.org/forum/geometri-teorem-ve-ispatlar/temel-dortgen-ozellikleri/msg10179/?topicseen#msg10179)² = (u - a)(u - b)(u - c)(u - d)

 olup veriler yerleÅŸtirilince maksimum alan  36 birimkare olarak bulunur.Bu arada paralelkenarın alanının en büyük olması için  P noktasının yerinin <x + <y = 180 derece olacak ÅŸekilde seçilmesi gerektiÄŸi açıktır.Bu gerekliliÄŸi sanırım önceki formumuzda Lokman Bey vurgulamıştı.

[geo]

Soru 9. İçerisinde alınan bir noktanın köşelerine uzaklığı 1,4,7,8 olan bir paralelkenarın alanının alabileceği en büyük değer nedir?
 
Çözüm 9. Paralelkenarımız ÅŸekildeki gibi olsun.Alan(ABCD) = S = 2(S₁ + S₂) olduÄŸu açıktır.Åžimdi APB üçgenini  DP'C  üçgenini oluÅŸturacak ÅŸekilde öteleyelim.Bu durumda   S = Alan(PDP'C) olup     S nin en büyük deÄŸerini alması demek bu dörtgenin alanının en büyük deÄŸerini alması demektir.Kenarları belli olan basit bir dörtgeninin alanı  en  büyük deÄŸerini  en genel anlamda  dörtgen kiriÅŸler dörtgeni iken alacağından(bakınız  http://geomania.org/forum/geometri-teorem-ve-ispatlar/temel-dortgen-ozellikleri/msg10179/?topicseen#msg10179)² = (u - a)(u - b)(u - c)(u - d)

 olup veriler yerleÅŸtirilince maksimum alan  36 birimkare olarak bulunur.Bu arada paralelkenarın alanının en büyük olması için  P noktasının yerinin <x + <y = 180 derece olacak ÅŸekilde seçilmesi gerektiÄŸi açıktır.Bu gerekliliÄŸi sanırım önceki formumuzda Lokman Bey vurgulamıştı.

Evet, kenarları belirli herhangi bir dörgende alan en büyük değerini dörtgen kirişler dörtgeni iken alır.
Aslında 1,4,7,8 'in özel bir durumu var.
Sizin ÅŸeklinizi,  BAP = DCP' olacak ÅŸekilde kuralım. DeÄŸiÅŸen hiçbir ÅŸey yok gibi görünüyor. S₁+S₂ yi maksimize etmek istiyoruz.
S₁+S₂ = Alan(PDP') + Alan(PCP') yi maksimize etmek istiyoruz. Max(Alan(PDP')) = PD.DP'/2 = 4 ve Max(PCP') = PC.CP'/2=14 ve Max(S₁+S₂) = Max(Alan(PDP') + Alan(PCP')) ≤ 18 dir. Neden eÅŸittir yok da küçük eÅŸittir var? PDP' ile PCP' üçgenlerinin teker teker maksimum deÄŸerlerini bulduk. Ama ikisi birlikte yani biri 14 iken diÄŸeri 4 olmayabilir. Bunun için ikisi birlikte en fazla teker teker aldıkları maksimum deÄŸerlerin toplamına eÅŸit olabilirler. Dedik ya, 1,4,7,8'in özel durumu var. 4²+7² = 1²+8²=65=PP' olduÄŸu için  ∠PCP' = ∠PDP'=90^o açıları birlikte 90^o olabiliyor. Yani iki üçgen de aynı anda maksimum deÄŸerlerini alabilirler. Yani Max(S₁+S₂) = Max(Alan(PDP') + Alan(PCP')) =18 ve Max(Alan(ABCD))=36 dır.