Harmonik Dörtgen ve Özellikleri

[Lokman Gökçe]

Harmonik dörtgen, karşıt kenarlarının çarpımlarının eşit olduğu bir kirişler dörtgenidir.

$ABCD$, $O$ çevrel merkezli bir harmonik dörtgen olsun. Bazı özellikler şunlardır:

1. Çevrel çembere $A$, $C$ noktalarından çizilen teğetler ve $BD$ doğrusunun bir $E$ noktasında kesiştiğini kanıtlayınız.

2. $[BE]$ üzerinden bir $F$ noktasını $|EF|=|EA|$ olacak şekilde alalım. $AEC$ üçgeninin çevrel çemberi $BD$ doğrusu ile $N$ noktasında kesişsin. $F$ noktası $ACN$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezidir, ispatlayınız.

3. $O, N, A, E, C$ noktaları çemberseldir, ispatlayınız.

4. Harmonik bir dörtgenin köşegenlerinin simedyan olduğunu kanıtlayınız.

[Lokman Gökçe]

Özellik 1'in İspatı: $BD$ köşegeni ile $A$ daki teğetin kesişimi $E$ noktası olsun. $E$ den çembere çizilen diğer teğetin değme noktası $C'$ olsun. ($C'$ noktasının konumunu, şekildeki $CD$ yayı üzerinde gibi düşünebilirsiniz.) $C$ ile $C'$ noktalarını çakıştığını ispatlayacağız. $ABE \sim DAE$ olduğundan $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|DE|}{|BE|}$ dir. Benzer şekilde $\dfrac{|C'D|}{|C'B|} = \dfrac{|DE|}{|BE|}$ olur. Böylece  $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|C'D|}{|C'B|} $ olur. Diğer yandan $ABCD$ harmonik dörtgen olarak verildiğinden karşılıklı köşegenlerinin çarpımı eşittir. Buradan $\dfrac{|AD|}{|AB|} = \dfrac{|CD|}{|CB|} $ bulunur. Böylece,

$$  \dfrac{|C'D|}{|C'B|} = \dfrac{|CD|}{|CB|} \tag{1}$$

olur. Eğer $C$ ve $C'$ farklı noktalar ise $|C'D| < |CD|$ ve $|C'B| > |CB|$ (ya da $|C'D| > |CD|$ ve $|C'B| < |CB|$) olduğundan $(1)$ eşitsizliğinin sağlanması imkansızdır. Yani $C' = C$ olmalıdır.

Diğer bir deyişle, çevrel çemberin $A, C$ deki teğetleri ve $BD$ doğrusu $E$ noktasında kesişir. Bu üç doğrunun paralel olması durumunda da $E$ noktası sonsuza gidecektir ve projektif geometri yönünden de bu teorem doğru kalmaya devam eder.

[Lokman Gökçe]

Özellik 2'nin İspatı: Özellik 1'den dolayı $|EA| = |EF| = |EC|$ olduğunu not edelim. $ANCE$ kirişler dörtgeni verildiğinden $\angle ANE = \angle CNE$ olur. İç merkez lemmasından dolayı $F$ noktası $ANC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olur.


İç merkez lemması'nı kullanmadan da kolayca bu problemi çözebiliriz. $E$ merkezli ve $|EA| = |EF| = |EC|$ yarıçaplı çemberde merkez açı - çevre açı bağıntısından $\angle FEC = 2\angle FAC$ dir. Ayrıca $AECN$ kirişler dörtgeninde $\angle NAC = \angle NEC$ olur. Böylece $\angle NAF = \angle CAF$ bulunur. Öte yandan $\angle ANE = \angle CNE$ olduğundan, $F$ noktası $ANC$ üçgeninde iç açıortayların kesim noktası (iç merkezi) olur.

[Lokman Gökçe]

Özellik 3'ün İspatı: $OA\perp AE$ ve $OC \perp CE$ olduğundan, $OAEC$ bir kirişler dörtgenidir. Çevrel çemberinin çapı da $[OE]$ dir. Özellik 2'de, $ANCE$ kirişler dörtgeni olarak tanımlandığından $O, N, A, E, C$ noktalarının $[OA]$ çaplı çember üzerinde olduğunu anlarız.

[Lokman Gökçe]

Özellik 4'ün İspatı: İlk olarak $\angle ONE = \angle OAE = 90^\circ$ olduğundan $|BN| = |ND|$ olduğunu not edelim. Yani $ABD$ üçgeninde $[AN]$ kenarortaydır.

$\angle NAF = \angle CAF = a$, $\angle ANF = \angle CNF = b$, $\angle NCF = \angle ACF = c$ diyelim. Ayrıca $\angle ABN =x$, $\angle CBN = y$ olsun. Çemberde teğet-kiriş açı ve çevre açılardan $\angle DAE = \angle DCA = \angle DBA = x$ ve $\angle DCE = \angle DAC = \angle DBC = y$ olur. $ANF$ üçgeninden $\angle AFE = a+b$ dir. $|EA| = |EF|$ olduğundan, $\angle EAF = \angle AFE = a+b$ dir. Öte yandan, $\angle EAF = x + y + a$ olduğundan $b = x + y$ elde edilir. $ABN$ üçgeninden $b = x + \angle BAN$ olduğundan $\angle BAN = y$ elde edilir. $\angle DAC = \angle BAN = y$ olduğundan, $ABD$ üçgeninde $AN$ kenarortay doğrusunun $AF$ açıortayına göre simetrisi $AC$ doğrusu olur. Yani $ABD$ üçgeninde $AC$ köşegeni bir simedyandır.