Gönderen Konu: Genç Balkan Matematik Olimpiyadı 2024 Soru 1  (Okunma sayısı 641 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 970
  • Karma: +14/-0
Genç Balkan Matematik Olimpiyadı 2024 Soru 1
« : Haziran 27, 2024, 02:47:26 ös »
$a,b,c$ pozitif reel sayıları $$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{4}$$ eşitliğini sağlasınlar. $$\frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 + a^2}} + \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le \frac{\sqrt{2}}{(a + b)(b + c)(c + a)}$$ olduğunu kanıtlayın.
« Son Düzenleme: Haziran 27, 2024, 02:49:12 ös Gönderen: alpercay »

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
Ynt: Genç Balkan Matematik Olimpiyadı 2024 Soru 1
« Yanıtla #1 : Haziran 27, 2024, 03:39:34 ös »
Öncelikle JBMO'da eşitsizlik problemi çıkmasına sevindiğimi söyleyeyim. Geçen sene de 2. problemde bir eşitsizlik karşımıza çıkmıştı. Kuvvet Ortalaması Eşitsizliği'yle $2\left(b^2+c^2\right)\geq\left(b+c\right)^2$ olduğunu biliyoruz. Buna göre

$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}}\leq \sum_{cyc}{\dfrac{\sqrt{2}}{\left(a+b\right)}}\overbrace{\leq}^{?} \dfrac{\sqrt{2}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$$
$$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\geq \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}$$
Bu noktada sağ tarafla uğraşıldığında
$$1\geq a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)$$
eşitsizliğini göstermemiz gerekir. $a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{4}$ bilgisiyle eşitsizliğin sol tarafını homojenize edersek
$$1=4\left(a^2+b^2+c^2\right)\geq a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)\Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$
temel eşitsizliğine dönüşür ve açıktır. İspat tamamlanır.
« Son Düzenleme: Kasım 11, 2024, 04:55:07 ös Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 795
  • Karma: +2/-0
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal