Genç Balkan Matematik Olimpiyadı 2024 Soru 2

[alpercay]

$ABC$ üçgeninde $AB < AC$ olacak şekilde $A$ köşesi karşısındaki dış teğet çemberi sırasıyla $AB, AC$ ve $BC$ doğrularına $D, E$ ve $F$ noktalarında teğet olsun ve $J$ noktası bu çemberin merkezi olsun. $P$, $BC$ kenarı üzerinde bir nokta olsun. $BDP$ ve $CEP$ üçgenlerinin çevrel çemberleri ikinci kez $Q$ noktasında kesişsin. $R$, $A$ noktasından $FJ$ doğrusuna çizilen dikmenin ayağı olsun. $P, Q$ ve $R$ noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayın.

(Bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesi karşısındaki dış teğet çemberi, $BC$ doğru parçasına, $B$ ötesinde $AB$ ışınına ve $C$ ötesinde $AC$ ışınına teğet olan çemberdir.)

[geo]

$\angle ADJ = \angle AEJ=90^\circ$ olduğu için $A,D,J,E$ noktaları $AJ$ çaplı çemberin üzerindedir.

$\angle DQP = \angle ABC$, $\angle EQP = \angle ACP$ ve $\angle DQE + \angle DAE = 180^\circ$, dolayısıyla $Q$ noktası da $AJ$ çaplı çemberin üzerindedir.

$\angle ARJ =90^\circ$ olduğu için $R$ de $AJ$ çaplı çemberin üzerindedir.

$AR\parallel BC$ olduğu için $\angle EQP = \angle ACP= \angle RAE =\angle EQR$ olur. Bu da $Q,P,R$ noktalarının doğrusal olduğu anlamına gelir.