Kullanılan çözüm yöntemi düşünülünce, aslında bir sayılar teorisi sorusudur.
Yanıt: $\boxed{A}$
Her biri $1$'den büyük $29$ farklı pozitif tam sayı $N$'yi tam bölecektir. $1$ de $N$'nin bir böleni olduğundan $N$'nin en az $30$ pozitif tam böleni vardır. $N = p^xq^yr^zs^t$ gibi asal çarpanlarına ayrılmış olsun. ($N$ daha az veya daha fazla sayıda asal çarpana da sahip olabilir.) $N$'nin pozitif tam bölenlerinin sayısını $d(N)$ ile gösterelim.
$\bullet$ $d(N) = 30$ ise $(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 30$ yazılırsa $N$'nin en küçük değeri $N_{\min} = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 720$ olur.
$\bullet$ $d(N) = 31$ ise $N_{\min} = 2^{30}$ olur. Fakat $2^{30} > 720$ dir.
$\bullet$ $d(N) = 32$ olsun.
$(x + 1)(y + 1)(z + 1) = 32$ için $x=3, y=3, z=1$ veya $x=7, y= z = 1$ olabilir. Buradan $N_{\min} = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5$ veya $ N_{\min} = 2^8 \cdot 3 \cdot 5$ olur. Fakat bu değerler de $720$'den büyüktür.
$(x + 1)(y + 1)(z + 1)(t + 1) = 32$ için $x=3, y=1, z=1, t = 1$ olur. $N_{\min} = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840$ olup $720$'den büyüktür.
$(x + 1)(y + 1)(z + 1)(t + 1)(v + 1) = 32$ için $x=1, y=1, z=1, t = 1, v = 1$ olur. $N_{\min} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 = 2310$ olup $720$'den büyüktür.
$\bullet$ $d(N) = 33, 34$ veya $35$ iken $720$'den daha büyük $N$ değerleri elde edeceğimiz kolayca görülebilir. $d(N) \geq 36$ durumlarını düşünebiliriz.
$N$'nin $4$ asal çarpan içermesi durumunda, en küçük asalın kuvveti en az $2$ olmalıdır. Bu halde $N\geq 840$ olur. $N$'nin en az $5$ asal çarpan içermesi durumunda, $N\geq 2310$ olur. Tüm bu durumları göz önüne aldığımızda $N_{\min} = 720$ elde edilir. $7 + 2 + 0 = 9$ bulunur.
