Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2024 Soru 15

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ gerçel sayıları $$3x^2y+3y-1=3y^2x+3x-1=x^2y^2+x^2+y^2$$ denklem sistemini sağlamaktadır. $x+y$ sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt5  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 12$

[ibka00]

Çözüm ektedir

[alpercay]

Yanıt:$\boxed{D}$

$3y(x^2+1)=3x^2y+3y=x^2y^2+x^2+y^2+1=(x^2+1)(y^2+1)$  yani $y^2-3y+1=0$ olup buradan $y=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$  veya $y=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ bulunur.

 Benzer olarak   $3x(y^2+1)=3xy^2+3x=x^2y^2+x^2+y^2+1=(x^2+1)(y^2+1)$ yani  $x^2-3x+1=0$ olup buradan $x=\dfrac{3+\sqrt5}{2}$  veya  $x=\dfrac{3-\sqrt5}{2}$ bulunur. Buna göre $x+y$ toplamı $3+\sqrt{5}$, $3-\sqrt{5}$ veya $3$ olacağından alabileceği değerler toplamı $9$ bulunur.

[alpercay]

(Resmi Çözüm) $1.$ ve $3.$ ifadelerin eşitliğinden $(x^2+1)(y^2-3y+1)=0$ ,  $2.$ ve  $3.$ ifadelerin eşitliğinden $(y^2+1)(x^2+3x+1)=0$ bulunur. Bu durumda iki sayı da $t^2-3t+1$ polinomunun kökleridir. Bu köklere $t_1,t_2$ dersek, $x+y$ nin alabileceği değerler

 $2t_1,t_1+t_2$  ve $2t_2$ olur. $t_1+t_2=3$ olduğu için bu sayıların toplamı $9$ olarak bulunur.