Tübitak Lise 1. Aşama 2024 Soru 08

[matematikolimpiyati]

Bir tahtaya $5,10,15,20,25,30,35,40$ sayıları yazılmıştır. $k$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, her işlemde tahtadaki sayılardan $k$ tanesi seçiliyor ve seçilmiş sayı $1$ azaltılıyor. Birkaç işlem sonucunda tahtadaki tüm sayıları $0$ yapmak mümkünse $k$'ye uygun sayı diyelim. $1,2,3,4,5,6,7,8$ sayılarından kaç tanesi uygun sayıdır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[vedatde]

Tahtaya yazılan sayılar,
5,10,15,20,25,30,35,40 saylarından oluşmaktadır. Bu sayların toplamı 180 dir.
$180=5$.$2^2$ $3^2$   şeklinde yazılabilir.
Her işlemde tahtadaki sayılardan k tanesi seçiliyor ve seçilmiş sayılar 1 azaltılıyor.
Sayılar her işlemde 1 azaltıldığına göre işlem sayısı en az en büyük sayı kadardır.
İşlem sayısı $a$ olsun.
$a≥40$ dır.
O zaman,
$180=5$.$2^2$ $3^2$$=a.k$  olur.
Buradan işlem sayısı olan $a$ değeri $45,60,90,180$ değerlerini alabilir.
Bu değerlere karşılık gelen $k$ değerleri de  $1,2,3,4$ olabilir. Yani $4$ değer var.
Bu değerlerin tümünün çözüm olduğunu açıklayalım.
Şimdi verilen sayıları 1 ler den oluşacak şekilde,
5=1+1+1+1+1 şeklinde parçalayalım. Her bir 1 değeri 5 'i  temsil edecek.
10=1+1+⋯+1+1 şeklide parçalayalım. Her bir 1 değeri 10' u temsil edecek.
…
40=1+1+⋯+1+1 şeklide parçalayalım. Her bir 1 değeri 40' ı temsil edecek.
Bu sayıları temsil eden $toplam$ $180$ adet 1 leri ,
$k=1$ için  $a=180$  ve ;
$180$x$1$ lik tabloya nasıl yerleştirirsek yerleştirelim her bir işlemedeki azalmaya karşılık gelen
satırların  toplamı $1$ olur.
$k=2$ için $a=90$ ve; 
$90$x$2$ lik tabloya nasıl yerleştirirsek yerleştirelim her bir işlemedeki azalmaya karşılık gelen
satırların  toplamı $2$ olur.
$k=3$ için $a=60$ ve; 
$60$x$3$ lük tabloya nasıl yerleştirirsek yerleştirelim her bir işlemedeki azalmaya karşılık gelen
satırların  toplamı $3$ olur.
$k=4$ için $a=45$ ve; 
$45$x$4$ lük tabloya nasıl yerleştirirsek yerleştirelim her bir işlemedeki azalmaya karşılık gelen
satırların  toplamı $4$ olur.

Yanıt d

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: 4. Yapılan işlem sayısı en az $40$ olmalıdır. Buna göre, $40 k \leq 5+10+\cdots+40=180$ ve buradan da $k \leq 4$ bulunur. Şimdi de $k=1,2,3,4$ değerlerinde tahtadaki sayıların $0$ yapılabileceğini gösterelim. $k=1$ durumu açıktır. $k=2$ durumunda sayıları toplamları $90$ olan iki gruba ayırıp her işlemde her gruptan birer sayı seçilebilir. Gruplar $\{20,30,40\}$ ve $\{5,10,15,25,35\}$ olarak seçilebilir. $k=3$ durumunda sayıları toplamları $60$ olan üç gruba ayırıp her işlemde her gruptan birer sayı seçilebilir. Gruplar $\{25,35\},\{20,40\}$, ve $\{5,10,15,30\}$ olarak seçilebilir. $k=4$ durumunda sayıları toplamları $45$ olan dört gruba ayırıp her işlemde her gruptan birer sayı seçilebilir. Gruplar $\{5,40\},\{10,35\},\{15,30\}$ ve $\{20,25\}$ olarak seçilebilir.

Kaynak: Tübitak 32. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Çözüm Kitapçığı