Balkan Matematik Olimpiyatı 2024 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, $3^a+2$ sayısı $3^b+2$ sayısı ile bölünüyor. $a>b^2$ olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

$3^b+2\mid 3^a+2$ olduğundan $a>b$'dir. Aksini varsayalım ve $b^2\geq a$ olsun. Bölme algoritmasından, $0<q\leq b$ ve $0\leq r<b$ ve $a=bq+r$ olacak şekilde $q$ ve $r$ tamsayıları vardır. $$0\equiv 3^{bq+r}+2\equiv 3^r\cdot 3^{bq}+2\equiv 3^{r}\cdot (-2)^{q}+2\pmod{3^b+2}$$ $$\implies 3^b\equiv 3^r\cdot (-2)^{q}\pmod{3^b+2}\implies 3^{b-r}\equiv (-2)^{q}\pmod{3^{b}+2}$$ elde edilir. $0<3^{b-r}<3^b+2$'dir. $(-2)^q$'nun ise $q$'nun tekliği ve çiftliğine göre verdiği kalan $3^b-2^q$ veya $2^q$'dur. Kalanlar aynı olmalıdır ancak $3^{b-r}$ sayısı ne $2^q$'ya ne de $3^b-2^q$'ya eşit olamaz çünkü bu sayılar $3$'ün kuvveti değildir. Bu bir çelişkidir ve dolayısıyla $a>b^2$ olmalıdır.