Gönderen Konu: Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 1  (Okunma sayısı 1257 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 1
« : Nisan 11, 2024, 03:53:19 öö »
Farklı uzunluktaki köşegenlerinin kesim noktası $E$ olan bir $ABCD$ konveks dörtgeninde $AB=BC=CD$ dir.
$$AE=DE \iff m(\widehat{BAD}) +m(\widehat{ADC}) = 120^{\circ}$$
olduğunu kanıtlayınız.

(Arnavutluk)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 1
« Yanıtla #1 : Nisan 12, 2024, 10:12:20 öö »
$i)$ $AE = DE \Longrightarrow \angle BAD + \angle ADC = 120^\circ$

$\triangle ABE$ de Sinüs Teoreminden, $\dfrac{BA}{\sin \angle BEA}=\dfrac{AE}{\sin \angle ABE}$.

$\triangle DCE$ de Sinüs Teoreminden, $\dfrac{CD}{\sin \angle CED}=\dfrac{DE}{\sin \angle DCE}$.

Bu durumda $\sin \angle ABE = \sin \angle DCE$, yani $\angle ABE = \angle DCE$ ya da $\angle ABE+\angle DCE=180^\circ$ olacaktır. $\angle ABE = \angle DCE$ olsaydı $\triangle ABE \cong \triangle DCE$ olurdu. Bu durumda $BE=CE$ olurdu. Bu da $AC\neq BD$ ile çelişirdi. Geriye tek ihtimal kalıyor, o da: $\angle ABE+\angle DCE=180^\circ$.
$\angle ABE$ nin bütünleyeni ile $\angle DCE$ nin bütünleyeninin toplamı da $180^\circ$ olacağı için $AB$ ile $DC$ doğrularının keşistiği noktaya $F$ dersek $BECF$ kirişler dörtgenidir.
$\angle BFE = \angle BCE = \angle BAC$ olduğu için $EF=AE=DE$ olacaktır. Bu durumda $E$ noktası $\triangle FAD$ nin çevrel merkezi olacaktır.
$\angle AED = 2\angle AFD$ ve $\angle BFC + \angle BEC = 180^\circ$ olduğu için $3\angle AFD = 180^\circ$, $\angle AFD = 60^\circ$ ve $\angle BAD + \angle ADC = 120^\circ$ olacaktır.

$ii)$ $\angle BAD + \angle ADC = 120^\circ \Longrightarrow AE=DE$

$[AB$ ile $[DC$ ışınları $F$ de kesişsin. $\angle AFD = 60^\circ$.
$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ dersek $\angle FBC = 2\alpha$, $\angle FCB = 120^\circ - 2\alpha$, $\angle BDC = \angle CBD = 60^\circ - \alpha$ ve $\angle BEC = 120^\circ$.
$\angle BEC + \angle BFC=180^\circ$ olduğu için $BFCE$ kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle BFE = \angle BCE =\angle BAC =\alpha$, dolayısıyla $AE=EF$. Benzer şekilde, $\angle CFE = \angle CBE = \angle CDE = 60^\circ -\alpha$, dolayısıyla $DE = EF = AE$ dir.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: Balkan Matematik Olimpiyatı 2007 Soru 1
« Yanıtla #2 : Nisan 12, 2024, 01:40:35 ös »
$i)$ $AE = DE \Longrightarrow \angle BAD + \angle ADC = 120^\circ$

$AB=BC=CD=a$, $BE=x$, $CE=y$, $AE=ED=z$ olsun.
$\triangle ABC$ ve $\triangle BCD$ de Stewart'tan $a^2=yz+x^2=xz+y^2$. Düzenlersek $x^2-y^2=z(x-y)$. Sorudaki tanım gereği $x\neq y$ olduğu için $x+y=z$ elde ederiz.
$E$ nin $AC$ nin orta noktasına göre simetriği $M$, $AD$ nin orta noktasına göre simetriği $N$ olsun.
$AM=CE=y$, $BM=BE=x$, $DN=BE=x$, $CN=CE=y$.
Ayrıca $ME=x$ ve $NE=y$ olacaktır. Bu durumda $\triangle BEM$ ve $\triangle CEN$ birer eşkenar üçgen olacaktır.
Bu noktadan sonra birçok şekilde basit açı hesapları ile sonuca gidilebilir. $\triangle CND \cong \triangle AMB$ olduğu bilgisiyle sonuca gidelim.
$\angle BAD + \angle CDA = \angle BAM + \angle EAD + \angle EDA+ \angle NDC$ $= \angle BAM + \angle BEA + \angle MBA = \angle MBE + \angle BEA = 60^\circ + 60^\circ=120^\circ$.

$ii)$ $\angle BAD + \angle ADC = 120^\circ \Longrightarrow AE=DE$

$[AB$ ile $[DC$ nin kesişimi $F$ olsun. $\angle AFD=60^\circ$.
$\angle BAC= \angle BCA=\alpha$ dersek, $\angle FBC=2\alpha$, $\angle FCB=120^\circ-2\alpha$ ve $\angle \angle CBD = \angle CDB=60^\circ-\alpha$ olacaktır.
$[AE]$ üzerinde $BE=EM$ olacak şekilde $M$ noktası aldığımızda $\triangle BEM$ eşkenar üçgen ve benzerlik ya da simetriden $AM=CE$. Dolayısıyla $AE=AM+ME=CE+BE$ olacaktır.
Benzer şekilde $[DE]$ üzerinde $N$ noktası aldığımızda $DE=CE+BE=AE$ elde ederiz.
« Son Düzenleme: Nisan 12, 2024, 01:55:57 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal