Eşitsizlikler için yapılan genelleştirmelerin bazılarında değişken dönüşümleri yapılarak genelleştirilen orijinal soruya geri ulaşılabilir ve bu eşitsizliklere özel birşey değildir, diğer matematiğin alanlarında da görülebilir. Bu durum, yapılan genelleştirmenin orijinal probleme çarpım veya toplam ile küçük bir dokunuş yapılmış ve orijinal sorunun kendisine indirgenebileceğinin göstergesidir. Lakin "genelleştirme" kavramında genel-özel ilişkisi sonucu bu durum tam tersidir.
Bu bağlantıda da bahsettiğim gibi bu hususta dikkatli olunmalıdır.
Yaptığım bir yanlış genelleştirmeyi sizlerle paylaşmak istiyorum. Bugün
IMO Shortlist 2001 #A.3 problemiyle uğraşırken aşağıdaki problemi türettim.
IMO Shortlist 2001 #A.3$x_1,x_2,\cdots,x_n$ pozitif reeller olmak üzere
$$\dfrac{x_1}{1+x_1^2}+\dfrac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+\cdots+\dfrac{x_n}{1+x_1^2+\cdots+x_n^2}<\sqrt{n}$$
olduğunu gösteriniz. $■$
Genelleştirme 1$x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda,k$ pozitif reeller olmak üzere
$$\dfrac{x_1}{k+\lambda x_1^2}+\dfrac{x_2}{k+\lambda x_1^2+\lambda x_2^2}+\cdots+\dfrac{x_n}{k+\lambda x_1^2+\cdots+\lambda x_n^2}<\sqrt{\dfrac{n}{\lambda k}}$$
olduğunu gösteriniz. $■$
Bu problemin orijinal IMO Shortlist 2001 #A.3 problemine nasıl bağlı olduğunu inceleyelim. Orijinal problemin sol tarafına $LHS_{0}$ diyelim. $x_1=y_1\sqrt{\dfrac{k}{\lambda}}$ dönüşümü yapıldığında
$$LHS=\dfrac{x_1}{k+\lambda x_1^2}+\dfrac{x_2}{k+\lambda x_1^2+\lambda x_2^2}+\cdots+\dfrac{x_n}{k+\lambda x_1^2+\cdots+\lambda x_n^2}$$
$$=\dfrac{y_1\sqrt{\dfrac{k}{\lambda}}}{k+\lambda \dfrac{ky_1^2}{\lambda}}+\dfrac{y_2\sqrt{\dfrac{k}{\lambda}}}{k+\lambda \dfrac{ky_1^2}{\lambda}+\lambda \dfrac{ky_2^2}{\lambda}}+\cdots+\dfrac{y_n\sqrt{\dfrac{k}{\lambda}}}{k+\lambda \dfrac{ky_1^2}{\lambda}+\cdots+\lambda \dfrac{ky_n^2}{\lambda}}$$
$$=\dfrac{\sqrt{\dfrac{k}{\lambda}}}{k}\left(\dfrac{y_1}{k+y_1^2}+\dfrac{y_2}{k+y_1^2+y_2^2}+\cdots+\dfrac{y_n}{k+ y_1^2+\cdots+ y_n^2}\right)=\sqrt{\dfrac{n}{\lambda k}}.LHS_{0}$$
elde edilir. En sonda problemin orijinal probleme indirgenebilip genelleştirme olmadığı görülüyor.
Genelleştirme yapılırken bu tür dönüşümler denenmelidir. Bazen gözden kaçabilir ancak erken şekilde fark edilebilmesi için genelleştirmenin daha da ileriye taşınıp taşınamayacağı üzerine çalışmak gerekir.
Sonuç olarak bu genelleştirme olmayan genelleştirmeyi forumdan silip buraya eklememin sebebi başka problemlerle uğraşanların dikkatli olması için örnek teşkil etmesidir. Böyle çalışmalar elde ettikçe buraya ekleyeceğim.
