Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2023 Soru 3

[ygzgndgn]

$m$ ve $n$ aralarında asal pozitif tam sayılar olmak üzere, $$\frac{n^4+m}{m^2+n^2} \text { ve } \frac{n^4-m}{m^2-n^2}$$ sayılarının aynı anda tam sayı olamayacağını gösteriniz.

[geo]

$n^4 + m = n^4 - m^4 + m^4 + m = (n^2-m^2)(n^2 + m^2) + m(m^3 + 1)$ eşitliğini kullanırsak  $$m^2 + n^2 \mid n^4 + m \Rightarrow m^2 + n^2 \mid m(m^3 + 1) \tag{1}$$
$m$ nin hiçbir pozitif böleni $m^2 + n^2$ yi bölmeyeceği için $m$ ile $m^2+n^2$ de aralarında asaldır. Bu durumda $(1)$ den $$m^2 + n^2 \mid m^3 +1 \tag{2}$$ elde ederiz.
$n^4 - m = n^4 - m^4 + m^4 - m = (n^2-m^2)(n^2 + m^2) + m(m^3 - 1)$ eşitliğini kullanırsak $$m^2 - n^2 \mid n^4 - m \Rightarrow m^2 - n^2 \mid m(m^3 - 1) \tag{3}$$ olacaktır. $m$ nin hiçbir pozitif böleni $m^2 - n^2$ yi bölmeyeceği için $m$ ile $m^2 - n^2$ de aralarında asaldır. Bu durumda $(3)$ ten $$m^2 - n^2 \mid m^3 - 1 \tag{4}$$ elde ederiz.

Benzer mantıkla, $m^3 - 1 = m(m^2 - n^2) + mn^2 - 1$ olduğu için $m^2 - n^2 \mid mn^2 - 1$ ve $m^3 + 1 = m(m^2 + n^2) - mn^2 + 1 = m(m^2 + n^2) - (mn^2 - 1)$ olduğu için $m^2 + n^2 \mid mn^2 - 1$ olacaktır.

$m^2 - n^2$ ile $m^2 + n^2$ sayılarının en büyük ortak böleni $1$ ya da $2$ dir.
Bunu görmek için $m^2 + n^2 = dk_1$ ve $m^2 - n^2 = dk_2$ şeklinde yazıp sistemi çözelim: $2m^2 = d(k_1 + k_2)$ ve $2n^2 = d(k_1 - k_2)$.
Bu durumda $d>2$ olduğunda $d \mid 2m^2$ ve $d \mid 2n^2$ olacak. Bu da $m$ ve $n$ nin aralarında asallığı ile çelişecek.

$m^2 + n^2  \mid mn^2 - 1$, $m^2 - n^2 \mid mn^2 - 1$ olduğu için
$\text{obeb} (m^2 + n^2, m^2 - n^2) = 1$ ise $(m^2 + n^2)(|m^2 - n^2|) \mid (mn^2 - 1)$,
$\text{obeb} (m^2 + n^2, m^2 - n^2) = 2$ ise $(m^2 + n^2)(|m^2 - n^2|) \mid 2(mn^2 - 1)$.

Sorudaki $m^2 - n^2$ paydasının tanımlı olması için $m^2 - n^2 \neq 0 \Longrightarrow m \neq n$ olacaktır. Bu durumda $m=n$ durumu kapsam dışı.
O halde $mn^2 > 1$ olduğu için $|m^4 - n^4| \leq 2(mn^2 - 1)$ olacaktır.


$m > n$ durumunda $m^4 - (m-1)^4 \leq m^4 - n^4 \leq 2(mn^2 - 1) \leq 2(m^3 - 1)$.
$n > m$ durumunda $n^4 - (n-1)^4 \leq n^4 - m^4 \leq 2(mn^2 - 1) \leq 2(n^3 - 1)$.

İki eşitsizlik de aslında aynı.
$k = m$ ya da $k = n$ için çözersek $$\begin{array}{rcl}
k^4 - (k-1)^4 \leq 2k^3 - 2 &\Longrightarrow& 4k^3 - 6k^2 + 4k - 1 \leq 2k^3 -2 \\
&\Longrightarrow & 2k^3 < 2k^3 + 4k + 1 \leq 6k^2 \\
&\Longrightarrow & k < 3
\end{array}$$ olacaktır. Yani $m$ ve $n$ den büyük olanı $3$ ten küçük olmalı. Bu durumda sadece $(m,n)=(2,1)$ ya da $(m,n) = (1,2)$ sıralı ikililerini denemek yeterli olacaktır. (Aslında $k<3$ değerleri yukarıdaki eşitliği bile sağlamaz.)
Bunların sağlamadığı ise kolayca görülebilir. Bu durumda sorudaki sayıların ikisi birden tam sayı olamaz.

[Metin Can Aydemir]

$|m^4 - n^4| \leq 2(mn^2 - 1)$

Bu eşitsizliğe daha hızlı ulaşmamız mümkündür. Verilen kesirlerin tamsayı olduğunu kabul edersek, toplamları da tamsayı olacaktır. $$\frac{n^4+m}{m^2+n^2}+\frac{n^4-m}{m^2-n^2}=\frac{2n^4m^2-2mn^2}{m^4-n^4}\in\mathbb{Z}$$ $m$ ve $n$ aralarında asal olduğundan $(m,m^4-n^4)=(n,m^4-n^4)=1$ olacaktır. Dolayısıyla paydaki $m$ ve $n$ çarpanlarını attığımızda da ifade tamsayı kalmalıdır. Buradan $$\frac{2mn^2-2}{m^4-n^4}\in\mathbb{Z}$$ elde edilir. $2mn^2-2=0$ olmasının tek yolu $m=n=1$ olmasıdır ama bu da verilen kesri tanımsız yapacağından mümkün değildir. Dolayısıyla $mn^2>1$'dir. Buradan $$|m^4-n^4|\leq 2(mn^2-1)$$ elde edilir. Kalan kısma yukarıdaki gibi devam edilebilir.

[ygzgndgn]

Ben sınavda soruyu çözerken toplama yöntemini direkt olarak görememiştim. Buna karşın sezgilerle daha kolay görülebilecek bir metot olarak şöyle ilerlenebilir:
$$t=\frac{n^4-m}{m^2-n^2}\Rightarrow n^4=m^2t-n^2t+m$$ olmalıdır. İkisini de tam sayı varsaydığımızdan $$m^2+n^2 \mid n^4+m=m^2t-n^2t+m+m=m^2t-n^2t+2m\Rightarrow m^2+n^2 \mid m^2t-n^2t+m+t(m^2+n^2)=2m(mt+1)$$ olacaktır. $(m,n)=1\Rightarrow (m^2+n^2,m)=1$ olup $m^2+n^2 \mid 2m(mt+1)\Rightarrow m^2+n^2 \mid 2(mt+1)$ olmalıdır. $t$'yi yerine yazarsak $m^4-n^4 \mid 2(mn^2-1)$ ifadesine ulaşılır. Buradan eşitsizlik koşulu kurulup çözüm devam ettirilir.
Bunu daha sezgisel olarak addetmemin sebebi iki payda da $n^4$ ifadesinin olduğunun görülebilmesi. Böylelikle birinden $n^4$ü yalnız bırakıp diğerinden eşitsizlik getirme fikri daha da açık oluyor. Ben de sınavda bunu fark etmiştim. Sonrasında ilk eklenen çözüme benzer bir yolla gitmiştim.