Gönderen Konu: JBMO TST Deneme Sınavı 2016 Soru 1  (Okunma sayısı 559 defa)

Çevrimdışı Cafer2828

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 1
  • Karma: +0/-0
JBMO TST Deneme Sınavı 2016 Soru 1
« : Aralık 09, 2023, 08:43:04 ös »
$n$ bir pozitif tamsayı olmak üzere çarpımları $1$'e eşit olan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$(a^n+b^n+c^n)^2\geq (a+b)(b+c)(3-b)+K$$
olmasını sağlayan en büyük $K$ gerçel sabitini belirleyiniz.
« Son Düzenleme: Aralık 10, 2023, 12:11:44 ös Gönderen: Metin Can Aydemir »

Çevrimdışı Hüseyin Yiğit EMEKÇİ

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 790
  • Karma: +2/-0
Ynt: JBMO TST Deneme Sınavı 2016 Soru 1
« Yanıtla #1 : Eylül 02, 2024, 12:42:38 öö »
$a=b=c=1$  için $K\leq 1$ elde edilir. $K=1$ olduğunu gösterelim. Öncelikle $n$ pozitif tam sayısından kurtulalım. $abc=1$ olduğundan
$$\left(a^n+b^n+c^n\right)^2\geq \left(\dfrac{(a+b+c)^n}{3^{n-1}}\right)^2=\dfrac{(a+b+c)^{2n}}{3^{2n-2}}\geq (a+b+c)^2$$
Dolayısıyla eşitsizlik şuna dönüşür
$$(a+b+c)^2\geq (a+b)(b+c)(3-b)+1$$
Her iki taraftaki ifadeler açıldığında
$$a^2+b^2+c^2+ab^2+b^2c+b^3\geq ab+bc+ca+3b^2$$
Ki bu ifade $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ eşitsizliği kullanıldıktan sonra
$$ab^2+b^2c+b^3\geq 3\sqrt[3]{ab^7c}=3b^2$$
şeklinde Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği'nden barizdir.

Not:
Problemin çözümünde $n$ 'e dair çok birşey yapmadığımızdan dolayı eşitsizliğin zayıf olduğu söylenebilir.
« Son Düzenleme: Eylül 02, 2024, 04:17:26 öö Gönderen: Hüseyin Yiğit EMEKÇİ »
''Uzman, çok dar bir alanda yapılabilecek tüm hataları yapmış kişidir.''   ~Niels Bohr

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal