2023 Antalya Matematik Olimpiyatı'nın sorusudur. (2. Aşama (Final) 10. Sınıf Pr 15) Sorularda kaynak biliniyorsa, belirtilmelidir. Üniversite hazırlık düzeyinde bir soru değildir.
İşlem kalabalığı olduğu için, bazı basamakları özet olacak bir çözüm verebilirim:
Çözüm: Çemberin $AD$, $BC$ doğrularına değdiği noktalar sırasıyla $G$, $H$ olsun. $[GH]$ çemberin çapı olur. $AC$ köşegeni ile $GH$ nın kesişimine $N$ diyelim. Çemberin $CD$ ye değdiği noktaya da $M$ diyelim. Çemberde kuvvet teoreminden
$|AG|^2 = 2\cdot 18 = 36 \implies |AG| = 6$ ve
$|CM|^2 = |CH|^2 = 9\cdot 25 \implies |CM| = |CH| = 15$.
$AGN \sim CHN$ benzerliğinden $\dfrac{|AN|}{|CN|} = \dfrac{|GN|}{|NH|} = \dfrac{6}{15}$ olduğundan $|AN| = 2\cdot \dfrac{27}{7} = \dfrac{54}{7}$ elde edilir. Bu bilgiler kullanılarak $|BH| = 12$ değerine ulaşılabilir. Artık, heron formülünden $ABC$ üçgeninin alanını hesaplamak mümkündür. Alan, $162\sqrt{2}$ olarak hesaplanır.
