Genelleştirilmiş Türkiye TST 2007 #3 {çözüldü}

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Hüseyin Emekçi)

1-)
$a,b,c$ pozitif reeller, $k\geq 1$ olmak üzere $a+b+c=\dfrac{k+1}{2k}$ ise


$$\dfrac{1}{kab+(k+1)c^2+(k+1)c}+\frac{1}{kbc+(k+1)a^2+(k+1)a}+\frac{1}{kca+(k+1)b^2+(k+1)b}$$
$$\geq \frac{1}{k(ab+bc+ca)}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Örnek-)

$a,b,c$ pozitif reeller olmak üzere $a+b+c=\frac{3}{4}$ ise


$$\frac{1}{2ab+3c^2+3c}+\frac{1}{2bc+3a^2+3a}+\frac{1}{2ca+3b^2+3b}\geq \frac{1}{2(ab+bc+ca)}$$

olduğunu gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

1-) Çözümü

$$\sum_{cyc}{\dfrac{k(ab+bc+ca)}{kab+(k+1)c^2+(k+1)c}}\geq 1$$

$$\dfrac{k(ab+bc+ca)}{kab+(k+1)c^2+(k+1)c}\geq \dfrac{ab}{ab+bc+ca}$$
Yukarıdaki eşitsizlik sağlanırsa ispatın biteceği açıktır.
$$k(ab+bc+ca)^2=ka^2b^2+kb^2c^2+kc^2a^2+2kabc(a+b+c)\geq ka^2b^2+(k+1)abc^2+(k+1)abc$$
$$kb^2c^2+kc^2a^2+2kabc(a+b+c)\geq (k+1)(abc^2+abc)$$
$a+b+c=\dfrac{k+1}{2k}$ olduğunu hatırlar isek ve yerine koyarsak
$$kb^2c^2+kc^2a^2+2kabc(a+b+c)\geq kb^2c^2+kc^2a^2+(k+1)(a+b+c)\geq (k+1)(abc^2+abc)$$
$$\rightarrow kb^2c^2+kc^2a^2\overbrace{\geq}^{AGO} 2kabc^2\geq (k+1)(abc^2)$$
$$2k\geq k+1$$
$k\geq 1$ olduğundan bu ifade doğrudur. İspat biter.