$v_p(n)$ ile $n$'yi bölen en büyük $p$'nin kuvvetinin üssünü gösterelim, örneğin $v_3(54)=3$'dür. Verilen eşitliği inceleyelim. $$(x+1)^m=x^n+1\implies x^n+1\equiv (-1)^n+1\equiv 0\pmod{x+1}$$ olur. Eğer $n$ çiftse $x>1$ olduğundan çelişki olur. $n$ tektir.
Eğer $x$ tekse, kuvvet kaydırma teoreminden, $2\mid x+1$ ve $n$ tek olduğundan $$v_2(x^n+1)=v(x+1)$$ olur. $v_2(x^n+1)=mv_2(x+1)$ olması gerektiğinden $m=1$ olmalıdır, bu da bir çelişkidir. $x$ çifttir.
$x+1$ tek sayı olduğundan ve $x+1>2$ olduğundan tüm asal bölenleri tektir. $p\mid x+1$ olan herhangi bir $p$ için $v_p(x+1)=k$ ise $v_p((x+1)^m)=mk$'dır. Ayrıca, kuvvet kaydırma teoreminden, $$v_p((x+1)^m)=mk=v_p(x^n+1)=v_p(x+1)+v_p(n)\implies v_p(n)=mk-k=(m-1)v_p(x+1)$$ elde edilir. Hem $x+1$, hem de $n$ tek olduğundan $(x+1)^{m-1}\mid n$'dir. Yerine yazarsak, $$n(x+1)\geq (x+1)^m=x^n+1\implies n\geq \frac{x^n+1}{x+1}$$ olur. $n>1$ olduğundan $\frac{x^n+1}{x+1}$ artandır (bu ifadeyi sadeleştirerek veya türevini alarak kolayca görebilirsiniz). Dolayısıyla $$n\geq \frac{2^n+1}{2+1}\implies 3n\geq 2^n+1$$ bulunur. Üstel fonksiyon, lineer fonksiyona göre çok hızlı arttığından eşitsizliğin bozulduğu $n$ değerinden sonra sağ taraf hep daha büyük olacaktır. $n\geq 4$ için eşitsizlik bozulduğu için $n=2$ veya $n=3$'dür. $n=2$ için $(x+1)^{m-1}\leq 2$'den çözüm gelmez.
$n=3$ için $3\geq (x+1)^{m-1}$'den $x=2$ ve $m=2$ bulunur. Tek çözüm $\boxed{(x,m,n)=(2,2,3)}$ olacaktır.
