2005 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 5

[matematikolimpiyati]

Şekilde, $ABCD$ kirişler dörtgeni olup, $E \in [AB]$ ve $F \in [CD]$ noktaları, $\dfrac{|AE|}{|EB|}=\dfrac{|CF|}{|FD|}$ sağlanacak biçimde alınmıştır. $[EF]$ üzerinde alınmış $P$ noktası için $\dfrac{|EP|}{|PF|}=\dfrac{|AB|}{|CD|}$ eşitliğinin sağlandığını varsayalım. Bu takdirde, $P$ noktasının $\widehat{ASB}$ açısının açıortayı üzerinde bulunduğunu kanıtlayınız.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Verilen koşul incelendiğinde
$$\dfrac{AE}{CF}=\dfrac{EB}{FD}=\dfrac{AE+EB}{CF+FD}=\dfrac{AB}{CD}$$
elde edilir. Ayrıca $ABCD$ kirişler dörtgeni ise
$$\dfrac{SC}{SA}=\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{CF}{AE}$$
olur, dolayısıyla $\triangle SCF\sim \triangle SAE$ yani $\angle ASE=\angle FSC$ dir. Bu ise $\angle FSA=\angle ESC$ demektir. Dolayısıyla $PS$ doğrusunun $\angle FSE$ açısının iç açıortayı olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Az önce elde edilen benzerlikle gösterelim
$$\dfrac{SF}{SE}=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{EP}{PF}$$
olduğundan $\angle FSP=\angle PSE$ ve $\angle ASP=\angle PSB$ olur. Ek olarak spiral benzerlikten $\triangle SAC\sim \triangle SEF$ olduğu da elde edilebilirdi.

Kaynak: Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları Soruları ve Çözümleri