Balkan Matematik Olimpiyatı 2021 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $AB<AC$ dir ve $A$ noktası, $B$ ve $C$ den geçen $\omega$ çemberinin içinde yer almaktadır. $X$ ve $Y$ noktaları, $\angle{BXA}=\angle{AYC}$ olacak şekilde $\omega$ üzerinde iki noktadır. $X$ ve $C,\ AB$ doğrusunun farklı taraflarındadır. $Y$ ve $B,\ AC$ doğrusunun farklı taraflarındadır. $X$ ve $Y$ noktaları $\omega$ üzerinde değiştikçe $XY$ doğrusunun sabit bir noktadan geçtiğini gösteriniz.

(İngiltere)

[geo]

$S$ ile $XY$ doğrularının kümesini gösterelim.
$CA$, $\omega$ çemberini $X_1$ de; $BA$ ise $Y_1$ de kessin. $\angle BX_1A = \angle CY_1A$ olduğu için $X_1Y_1 \in S$.

$A$ geçen $BC$ ye paralel olan doğru çemberi $X_2$ ve $Y_2$ de ($X_2$ ile $C$, $BA$ nın farklı taraflarında olacak şekilde) kessin. $\angle BX_2A = \angle CY_2A$ olduğu için $X_2Y_2 \in S$.

$X_1Y_1$ ile $X_2Y_2$ doğruları $P$ noktasında keşissin.
$\angle X_1AP = \dfrac {\stackrel \frown {X_2X_1 } + \stackrel \frown {CY_2 } }{2} = \dfrac {\stackrel \frown {X_2X_1 } + \stackrel \frown {BX_2 } }{2} = \angle X_1Y_1A $. Dolayısıyla $PX_1 \cdot PY_1 = PA^2$.

$P$ den geçen bir ışın, çemberi önce $X_3$ te sonra $Y_3$ te kessin.
$PX_3\cdot PY_3 = PX_1 \cdot PY_1 = PA^2$ olduğu için $\angle PAX_3 = \angle PY_3A$ olacaktır.

$X_3A$ çemberi $Q$ da, $Y_3A$ da $R$ de kessin.
$\dfrac {\stackrel \frown {X_3X_2 } + \stackrel \frown {X_2R} }{2}  = \angle RY_3X_3  = \angle X_2AX_3 = \dfrac {\stackrel \frown {X_3X_2 } + \stackrel \frown {Y_2Q} }{2} $ olur.

$\angle BX_3Q = \dfrac {\stackrel \frown {BC} + \stackrel \frown {CY_2 } + \stackrel \frown {Y_2Q} }{2} =  \dfrac {\stackrel \frown {BC} + \stackrel \frown {BX_2 } + \stackrel \frown {X_2R} }{2} =  \angle CY_3A$.
Bu durumda $X_3Y_3 \in S$.