2002 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Toplamları bir doğal sayının $2002$'nci kuvveti olan $2002$ tane ardışık tek sayı bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

Başlangıç sayımız $2n+1$ olsun. Bu durumda ardışık tek sayılarımız, $2n+1,2n+3,\dots, 2n+4003$ olacaktır. Bu sayıların toplamı $$S=4004n+(1+3+\cdots+4003)=4004n+2002^2$$ olacaktır. Eğer $S=2002^{2002}$ olmasını istersek, $$4004n+2002^2=2002^{2002}\implies n=\frac{2002^{2001}-2002}{2}=1001\cdot 2002^{2000}-1001$$ seçmeliydik. Dolayısıyla, $n$'nin bu değeri için $2n+1,2n+3,\dots, 2n+4003$ ardışık $2002$ tek sayısının toplamı $2002^{2002}$'ye eşittir.