2001 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$abcd=1$ eşitliğini sağlayan $a,b,c,d$ pozitif reel sayıları için
$$\dfrac{1+abc}{a+1}+\dfrac{1+bcd}{b+1}+\dfrac{1+cda}{c+1}+\dfrac{1+dab}{d+1} \geq 4$$
olduğunu ispatlayınız.

[geo]

$AGO$ uygularsak
$$\begin{array}{rcl}
\dfrac{1+abc}{a+1}+\dfrac{1+bcd}{b+1}+\dfrac{1+cda}{c+1}+\dfrac{1+dab}{d+1} &=& \dfrac{abcd+abc}{a+1}+\dfrac{abcd+bcd}{b+1}+\dfrac{abcd+cda}{c+1}+\dfrac{abcd+dab}{d+1} \\
&=& \dfrac{abc(d+1)}{a+1}+\dfrac{bcd(a+1)}{b+1}+\dfrac{cda(b+1)}{c+1}+\dfrac{dab(c+1)}{d+1} \\
&\geq & 4\sqrt[4]{a^3b^3c^3d^3} \\
&= & 4
\end{array}
$$
Eşitlik durumu $4$ kesrin birbirlerine eşit olması gerekir. Çarpımları $1$ olduğu için her biri $1$ e eşittir.
$\dfrac{1+abc}{a+1}=1 \Rightarrow bc=1$.

Benzer şekilde $cd=1$, $da=1$, $ab=1$.
Bu durumda eşitlik $c=a$ ve $b=d=\dfrac 1a$ iken sağlanır.