Gönderen Konu: 2001 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 2  (Okunma sayısı 1518 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
$2^{2001}+3^{2001}=n^k,\ (n,k \in \mathbb N)$ sağlanacak biçimde $n$'nin varlığı için $k$ sayısı $1$'e eşit olmalıdır. İspatlayınız.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.307
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2001 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 2
« Yanıtla #1 : Mart 28, 2023, 09:17:08 ös »
Bu ispat için $2^{2001}+3^{2001}\equiv 0\pmod{p}$ ve $2^{2001}+3^{2001}\not\equiv 0\pmod{p^2}$ olacak şekilde bir $p\geq 5$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. $(p,3)=(p^2,3)=1$ olduğundan $3$'ün hem $p$ hem de $p^2$ modunda tersi vardır. Bu durumda $$2^{2001}+3^{2001}\equiv 0\pmod{p}\iff \left(\frac{2}{3}\right)^{2001}\equiv -1\pmod{p}$$ $$2^{2001}+3^{2001}\not \equiv 0\pmod{p^2}\iff \left(\frac{2}{3}\right)^{2001}\not\equiv -1\pmod{p^2}$$ $\phi(p)=p-1$ ve $\phi(p^2)=p(p-1)$ olmasından dolayı $p(p-1)\mid 2000$ olması işlemlerimizi çok sadeleştirecektir. Bu şartı sağlayan bir $p$ için Euler teoreminden $\frac{2}{3}\equiv -1\pmod{p}$ ve $\frac{2}{3}\not\equiv -1\pmod{p^2}$ olup olmadığını kontrol etmeliyiz. $\frac{2}{3}\equiv -1$'den direkt olarak $p=5$'in bakmamız gereken asal olduğunu anlayabiliriz. Gerçekten de $$\frac{2}{3}\equiv \frac{27}{3}\equiv 9\not\equiv -1\pmod{25}$$ olduğundan $p=5$ aradığımız bir asaldır. Yani $5\mid (2^{2001}+3^{2001})$ fakat $5^2\not\mid (2^{2001}+3^{2001})$'dir. Buradan $k=1$ olması gerektiği sonucu çıkar.
« Son Düzenleme: Mayıs 03, 2023, 11:22:13 ös Gönderen: geo »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2001 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 2
« Yanıtla #2 : Mayıs 03, 2023, 11:21:16 ös »
$\varphi (25) = 20$ olduğu için $$(2^{20})^{100}\cdot 2+(3^{20})^{100}\cdot 3 \equiv 2+3 \equiv 5\pmod{25}$$ Yani $n^k = 25m +5 = 5(5m+1)$ dir. Bu da $k >1$ olamayacağı anlamına gelir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal