2000 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2-3 Soru 5

[matematikolimpiyati]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O;\ [OA]$ üzerinde alınan bir $E(A \neq E \neq O)$ noktasından$,\ [AB],[BC],[CA]$ kenarlarına indirilen dikmelerin ayakları, sırasıyla $N,L,M;\ ABC$ üçgeninin $A$'dan geçen yüksekliğinin $[BC]$ kenarını kestiği nokta $D$ ile gösterilmek üzere$;\ N,L,D,M$ noktalarının bir çember üzerinde bulunduğunu ispatlayınız.

[geo]

$AB$ ve $AC$ nin orta noktası $F$ ve $G$ olsun. $$\dfrac {AN}{AF} = \dfrac {AE}{AO} = \dfrac {AM}{AG}$$ Buradan $NM \parallel FG \parallel BC$ elde edilir.

$\angle BAO = 90^\circ - \angle AOF = 90^\circ - \angle ACB = \angle CAD = \alpha$.

$AD$ ile $EM$, $K$ de kesişsin. $AK = \dfrac {AM}{\sin \alpha}$, $AE=\dfrac {AN}{\sin \alpha}$.

$\dfrac {AE}{AB} = \dfrac {\dfrac {AN}{\sin \alpha}}{AB} = \dfrac {\dfrac {AM}{\sin \alpha}}{AC} = \dfrac {AK}{AC}$ olduğu için $\triangle BAE \sim \triangle CAK$. Dolayısıyla, $\angle ACK = \angle ABE$.

$\angle NLD = \angle 90^\circ + \angle NLE = 90^\circ + \angle NBE = 90^\circ + \angle MCK = 90^\circ + \angle MDK = \angle MDL$.
Bu durumda, $MNLD$ ikizkenar yamuktur. İkizkenar yamuklar kirişler dörtgenidir.