Gönderen Konu: 2000 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2-3 Soru 3  (Okunma sayısı 2103 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
$n>3$ olmak üzere, $a_1,a_2,a_3, ... ,a_n$ reel sayıları için

  $a_1+a_2+ \cdots +a_n \geq n$  ve  $a_1^2+a_2^2+ \cdots + a_n^2 \geq n^2$

eşitsizlikleri sağlanmaktadır. $a_1,a_2,a_3, ... ,a_n$ sayıları içinde $2$'den küçük olmayan en az bir sayı bulunduğunu ispat ediniz.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2000 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2-3 Soru 3
« Yanıtla #1 : Ekim 02, 2023, 12:39:44 ös »
Aksini varsayalım, $a_1,a_2,\dots,a_n<2$ olsun. Öncelikle tüm terimlerin pozitif veya $0$ olduğunu gösterelim. Eğer değilse, genelliği bozmadan $a_1,a_2,\dots,a_k$ pozitif veya $0$, $a_{k+1},a_{k+2},\dots, a_n$ negatif olsun. $i=1,2,\dots,n-k$ için $b_i=-a_{i+k}$ olarak tanımlayalım. Bu durumda $a_1+a_2+\cdots+a_k<2k$ olacağından $$2k-b_1-b_2-\cdots-b_{n-k}>n\implies (2k-n)^2>(b_1+b_2+\cdots+b_{n-k})^2> b_1^2+b_2^2+\cdots b_{n-k}^2$$ $$\implies (2k-n)^2+a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2> a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2\geq n^2$$ $$\implies 4k+(2k-n)^2>(2k-n)^2+a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2>n^2\implies 4k^2+4k-4kn>0\implies k+1>n\implies k\geq n$$ elde edilir ancak eğer negatif terim varsa $n>k$ olmalıdır. Dolayısıyla hiçbir terim negatif değildir. Dolayısıyla $$4n>a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2\geq n^2\implies 4>n$$ elde edilir ancak $n>3$ olduğundan bu bir çelişkidir. Baştaki kabulümüz hatalıdır, en az bir tane $2$'den küçük olmayan sayı vardır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal