Gönderen Konu: 2000 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2-3 Soru 1  (Okunma sayısı 1838 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.560
  • Karma: +4/-0
Bir $n$ doğal sayısının kendisinden küçük tüm doğal sayılara bölünmesiyle ortaya çıkan farklı kalanların toplamı $K(n)$ ile gösterilsin.
$K(n)=n$ olan tüm $n$ doğal sayılarını bulunuz. (Örnek: $K(9)=1+2+3+4=10$)

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.307
  • Karma: +9/-0
Ynt: 2000 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2-3 Soru 1
« Yanıtla #1 : Ağustos 16, 2023, 10:12:31 öö »
Birkaç deneme yapalım, tanımın mantığı gereği $K(1)=0$ olmalıdır. $$K(2)=0$$ $$K(3)=0+1$$ $$K(4)=0+1$$ $$K(5)=0+1+2$$ $$K(6)=0+1+2$$ $$K(7)=0+1+2+3$$ $$K(8 )=0+1+2+3$$ olur. Yani $$K(2n)=0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$$ $$K(2n-1)=0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$$ olduğunu tahmin edebiliriz.

İddiamızı ispatlayalım. Eğer $n$ çiftse $(=2k)$, $n$'den küçük herhangi bir $m$ pozitif tamsayısı için $n$'nin $m$'ye bölümünden kalan $k$ veya daha büyük olamaz çünkü aksi taktirde $k<m$ ve $m\mid n-\text{"kalan"}$'dan $m<n-\text{"kalan"}\leq k$ çelişkisi elde edilir. Aynı zamanda $k$'dan küçük her $k_0$ pozitif tamsayısı elde edilebilir çünkü $m=n-k_0$ seçebiliriz. Bu durumda $m>\frac{n}{2}$ olduğundan $n<2m$ olacak ve kalan $k_0$ olacaktır.

Aynı şekilde tek sayılar için de iddiayı gösterebiliriz. Şimdi soruya geçelim.

Eğer $n$ tek tamsayısı için $K(n)=n$ ise $k\geq 1$ için $n=2k-1$ yazalım. $$K(2k-1)=\frac{k(k-1)}{2}=2k-1$$ ikinci dereceden denklemi elde edilir ama çözüm bulunmaz.

Eğer $n$ çift tamsayı ve $K(n)=n$ ise $k\geq 1$ için $n=2k$ yazarsak, $$K(2k)=\frac{k(k-1)}{2}=2k\implies k^2-5k=0\implies k=5\implies n=10$$ elde edilir. Şartı sağlayan tek pozitif tamsayı $n=10$'dur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal