Üstlü sayılar {çözüldü}

[alpercay]

$x^{x^3}=36$ ise $x$ değeri kaçtır?

[Metin Can Aydemir]

Üç durumda inceleyelim,

$x=0$ ise çözüm gelmediği açıktır.

$x>0$ ise her tarafın $\ln$'ini alalım. $$x^3\ln{x}=\ln{36}$$ Bariz şekilde $x>1$ olmalıdır çünkü aksi takdirde sol taraf negatif olacaktır. $x^3$ ve $\ln{x}$ artan olduğundan sol taraf artandır. Dolayısıyla denklemin en fazla bir çözümü vardır. $x=6^a$ dersek, $$6^{a6^{3a}}=6^2\implies a6^{3a}=2\implies a=\frac{1}{3}$$ Yani sadece $x=\sqrt[3]{6}$ çözümünü elde ederiz.

$x<0$ ise $x=-y$ yazalım. Bu durumda denklem $$(-y)^{-y^3}=(-1)^{y^3}\left(\frac{1}{y}\right)^{y^3}=36$$ Negatif bir sayının kuvvetinin tanımlı ve pozitif olması için $y^3$'ün rasyonel ve $\frac{2a}{2b+1}$ formatında olması gerekir (çift bölü tek). Bunu not alırsak, denklemimiz $$\left(\frac{1}{y}\right)^{y^3}=36$$ olur. Her tarafın $\ln$'ini alırsak, $f(y)=-y^3\ln{y}=\ln{36}$ elde ederiz. $f(y)$'nin pozitif olması için $y\in (0,1)$ olmalıdır. $$f'(y)=-3y^2\ln{y}-y^2$$ olur ve $f'(y)=0 \iff y=e^{-1/3}$ olacağından ve sınırlardaki limit $0$ olduğundan maksimum değer $y=e^{-1/3}$ noktasında alınır. Yani $$\max f(y)=f(e^{-1/3})=\frac{1}{3}e^{-1}$$ olduğundan $f(y)=\ln{36}$ denkleminin çözümü yoktur.

Tek çözüm $\boxed{x=\sqrt[3]{6}}$'dır.

[alpercay]

Güzel ve açık bırakmayan çözüm için teşekkürler. Ortaokul-lise düzeyinde şöyle çözülebilir:

$36=6^2=((6^{1/3})^3)^2=(6^{1/3})^6=x^{x^3}$ olarak yazılırsa  $$x=6^{1/3}$$ bulunur.

[NazifYILMAZ]

Farklı ve kolay bir çözüm daha

[alpercay]

Bu da bulunsun.

$(2x)^{x^3}=2^{\frac{1}{12}} $ ise $x$ nedir?

[emguens]

 
Eğer $(2x)^{x^3} = 2^{\frac{1}{12}}$ ise $x$ nedir? 

Şimdi $x$'in 3 durumunu inceleyelim:

1. $x < 0$ durumu: 
Sol taraf negatif gelecektir, sağ taraf pozitif olduğundan geçersiz.

2. $x = 0$ durumu:
Bu durumda denklemi sağlayan bir $x$ yoktur, olamaz.

3. $x > 0$ durumu:
Bu durumda çalışacağız.

Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak inceleyelim:

$$
x^3(\ln 2 + \ln x) = \frac{1}{12} \ln 2
$$

Sol taraf $x$'e bağlı artan bir fonksiyondur, bu yüzden bir adet çözüm olacaktır.

Şimdi $x = 2^a$ durumunu deneyelim.

$$
(2^{a+1})^{2^{3a}} = 2^{\frac{1}{12}} \quad \Rightarrow \quad (a+1)2^{3a} = \frac{1}{12}
$$

Sol taraf ve sağ tarafın eşitliğinden dolayı $\frac{1}{12}$'yi $2^{-2} \cdot 3^1$ şeklinde yazarsak ve denklemi nümerik olarak çözersek, $a = -\frac{2}{3}$sonucunu buluruz.

$$
\boxed{x = 2^{-\frac{2}{3}}}
$$