Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2022 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$x,y,z$  pozitif gerçel sayılar olmak üzere $x \leq 1$  dir.

                                        $xy+y+2z \geq 4 \sqrt{xyz}$

olduğunu gösteriniz.

[alpercay]

Eşitsizliğin sol tarafını dört terim olacak şekilde parçalayıp $AO-GO$ eşitsizliğini uygulayalım:
$$xy+y+2z=xy+y+z+z\ge 4 \sqrt[4]{xy^2z^2}$$
$0\lt x^2\le x\le 1$ verildiğinden (ve $f(x)=\sqrt[4]{x}$ fonksiyonu artan olduğundan) $$xy+y+2z=xy+y+z+z\ge 4\sqrt[4]{xy^2z^2}\ge 4\sqrt[4]{x^2y^2z^2}=4 \sqrt{xyz}$$ elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Daha analitik bir çözüm olarak,

$x$ pozitif olduğundan $x=t^2$ olacak şekilde bir $0<t\leq 1$ vardır. Eşitsizlikte yerine koyarsak, ispatlamamız gereken eşitsizlik, $$yt^2-4t\sqrt{yz}+(y+2z)\geq 0$$ olacaktır. $y$ ve $z$'yi sabitlersek, $P(t)=yt^2-4t\sqrt{yz}+(y+2z)$ ikinci dereceden polinomunu elde ederiz. $y>0$ olduğundan bu polinomun kolları yukarı bakar ve negatif olduğu tek bölge, $t_1<t_2$ kökleri olmak üzere $(t_1,t_2)$ aralığıdır. $$\Delta_P=16yz-4y(y+2z)=4y(2z-y)$$ olduğundan eğer $y\geq 2z$ ise denklemin ya kökü yoktur ya da katlı kökü vardır. Bu durumda her zaman $P(t)\geq 0$ olacaktır.

Eğer $2z>y$ ise kökler sadeleşmiş hali ile, $$t_{1,2}=\frac{2\sqrt{z}\pm\sqrt{2z-y}}{\sqrt{y}}$$ olacaktır. Yani eğer $(0,1]$ aralığı $\left(\frac{2\sqrt{z}-\sqrt{2z-y}}{\sqrt{y}},\frac{2\sqrt{z}+\sqrt{2z-y}}{\sqrt{y}}\right)$ aralığı ile kesişmiyorsa eşitsizlik yine sağlanacaktır. Bu yüzden $$1\leq \frac{2\sqrt{z}-\sqrt{2z-y}}{\sqrt{y}}$$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. $$1\leq \frac{2\sqrt{z}-\sqrt{2z-y}}{\sqrt{y}} \iff \sqrt{2z-y}\leq 2\sqrt{z}-\sqrt{y}$$ $4z>2z>y$ olduğundan eşitsizliğin iki tarafı da pozitiftir. Bu yüzden herhangi bir sorun yoktur. $$\sqrt{2z-y}\leq 2\sqrt{z}-\sqrt{y}\iff 2z-y\leq 4z+y-4\sqrt{yz}\iff 2\sqrt{yz}\leq y+z\iff (\sqrt{y}-\sqrt{z})^2\geq 0$$ elde edilir. Dolayısıyla $(0,1]$ aralığı verilen aralığın dışındadır ve $P(t)\geq 0$ olur.

Eşitlik durumu için $2z>y$ altdurumuna bakarsak $y=z$ elde edilir. $2z\leq y$ altdurumunda ise polinomun kökü olması için $2z=y$ olmalıdır. Bu durumda $$yt^2-4t\sqrt{yz}+(y+2z)=2zt^2-4zt\sqrt{2}+4z=2z(t-\sqrt{2})^2$$ olacağından $t=\sqrt{2}$ ve $x=2$ olmalıdır fakat bu da verilen aralıkla çelişir. Yani tek olası durum $y=z$ olmasıdır. Yerine yazarsak, $$yt^2-4yt+3y=y(t-1)(t-3)=0\implies t=1\implies x=1$$ Yani tek eşitlik durumu $(x,y,z)=(1,k,k)$ formatındadır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$$\dfrac{xy+y+2z}{2}\geq xy+z\geq 2\sqrt{xyz}$$
eşitsizliklerini gösterirsek ispat tamamlanmış olur. Sağ taraftaki eşitsizlik aritmetik ortalama geometrik ortalama eşitsizliğinden dolayı doğrudur. Sol taraftaki eşitsizliğin sağlanması için gerek ve yeter şartları yazalım:
$$
\begin{align}
\dfrac{xy+y+2z}{2}\geq xy+z & \iff xy+y+2z\geq 2xy+2z \\
 & \iff y\geq xy \\
 & \iff y(1-x)\geq 0 \\
 & \iff x\leq 1
\end{align}
$$
olup bu son ifade doğrudur. O halde $xy + y + 2z \geq 4\sqrt{xyz}$ eşitsizliği de doğrudur.

[Lokman Gökçe]

Çözüm [Lokman Gökçe]: $0<x\leq 1$ olduğundan $y\geq xy$ dir. Bu eşitsizlikten ve aritmetik ortalama geometrik ortalama eşitsizliğinden
$$xy + y + 2z \geq xy + xy + 2z = 2(xy+z) \geq 4\sqrt{xyz}$$
elde edilir.

[Metin Can Aydemir]

Diğer çözümlere bakınca benimkisi topla sinek avlamak gibi kalmış