Öncelikle $k=5$ için $a=3$ ve $m=1$ alırsak, $n=3$ bulunur. Yani $k=5$ için istenilen denklemi sağlayan $a,m,n$ pozitif tamsayıları vardır. Şimdi $k\leq 4$ için çözüm olmadığını gösterelim.
$k=2$ ise $5^m+63n+49\equiv (-1)^m+1\pmod{3}$ olacağından $m$ tek ve $a$ da $3$'ün katı olmalıdır. Yani $a^2$ sayısı $9$'un katıdır. Buradan $$63n+5^m+49\equiv 0\pmod{9}\implies 5^m\equiv 5\pmod{9}\implies 5^{m-1}\equiv 1\pmod{9}$$ elde edilir. $5$'in mod $9$'daki mertebesi $6$ olduğundan $m=6t+1$ formatında olmalıdır. Şimdi de ifadeyi mod $7$'de incelersek, $a^2\equiv 0,1,2,4\pmod{7}$ olabilir. Ayrıca, $$5^{6k+1}+63n+49\equiv 5\pmod{7}$$ olduğundan bir çelişki elde ederiz. Yani $k=2$ için herhangi bir çözüm yoktur. Dolayısıyla herhangi bir çift $k$ için de çözüm yoktur. Bu yüzden $k=4$ durumunu incelememize gerek yoktur.
$k=3$ ise $a^3\equiv 0,1,-1\pmod{7}$ olabilir. Yani $$5^m+63n+49 \equiv 5^m\equiv 0,1,-1\pmod{7}\implies m\equiv 0\pmod{3}$$ bulunur. $m=3u$ yazıp ifadeyi mod $9$'da incelersek, $$125^u+63n+49\equiv (-1)^u+4\equiv a^3\equiv 0,1,-1\pmod{9}$$ olur ancak $(-1)^u+4$ ifadesi sadece $3$ ve $5$ kalanlarını verebilir. Dolayısıyla bu bir çelişkidir ve çözüm yoktur.
$k$'nın alabileceği en küçük değer $\boxed{k=5}$ bulunur.
Not: Bu denklemin çözümü olmasını sağlayan diğer $k$'lara bakarsak, $5,7,11,13,17,19,23,25,\dots$ elde edilir. Yani şartı sağlayan ve asal olmayan en küçük $k$ değeri $25$'dir. Örnek durumu ise $a=11$, $m=2$'dir.
