Gönderen Konu: İntegral  (Okunma sayısı 1179 defa)

Çevrimdışı Leonhard Euler

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 2
  • Karma: +0/-0
İntegral
« : Aralık 25, 2022, 05:10:27 ös »
$\displaystyle{\int_0^1  x^x  dx}$


Bu integral nasıl çözülür?
« Son Düzenleme: Aralık 26, 2022, 12:33:39 öö Gönderen: Leonhard Euler »

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3659
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: İntegral
« Yanıtla #1 : Aralık 26, 2022, 09:41:23 ös »
Bu, çözümü detaylı ve meşhur bir integral problemidir. Çeşitli değişken değiştirmeler yapıldıktan sonra bir noktada
$$ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}dt $$

biçiminde tanımlanan gamma fonksiyonundan faydalanılıyor. $\text{Re}(z)>0$ iken bu integral yakınsaktır. Ayrıca gamma fonksiyonu, doğal sayılarda tanımlanan faktöriyel fonksiyonunun genelleştirilmiş biçimidir. Gamma fonksiyonunun yukarıdaki tanımı kullanılarak her $n\geq 0$ tam sayısı için $\Gamma (n+1) = n!$ olduğu gösterilebilir. Yukarıdaki integralin hesaplanmasında bu faktöriyel eşitliği kullanılmaktadır.

Burada $\displaystyle{\int_0^1  x^x  dx}$ integrali ve çok benzer şekilde

şurada $\displaystyle{\int_0^1  x^{-x}  dx}$ integrali için hesaplama yapılıyor.

Her ikisi de yakınsak bir seri toplamı biçiminde elde ediliyor. $\LaTeX$ biçiminde yazmak için şimdi uygun değilim. Sonra da tamamlanabilir. Ancak vakti uygun bir topluluk üyemiz çözümü siteye aktarabilirse bu da güzel olur. Türkçe kaynak oluşumuna katkı vermiş oluruz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 886
  • Karma: +14/-0
Ynt: İntegral
« Yanıtla #2 : Aralık 27, 2022, 09:47:11 öö »
Aşağıda Matkafası sitesinden Prof.Dr.Doğan Dönmez hocanın sunduğu özet bir çözüm var:

$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ ve $x^x=e^{x\ln x}$ oluşundan,

$$\int x^x\:dx=\int\sum_{n=0}^\infty\frac{(x\ln x)^n}{n!}\:dx=\sum_{n=0}^\infty\left(\int\frac{x^n(\ln x)^n}{n!}\:dx\right)$$ olur. $\int x^n(\ln x)^n\:dx$ integrali kısmi integrasyonla hesaplanıp yerine konursa $\int x^x\:dx$ bir sonsuz toplam olarak (ama kuvvet serisi değil) bulunur. Buradan da (biraz da limit alarak)

 $$\int_0^1 x^x\:dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n}=1-\frac1{2^2}+\frac1{3^3}-\frac1{4^4}+\cdots$$

Bulunur (Johann Bernoulli bulmuş)

Sorunun tartışıldığı link  https://www.matkafasi.com/775/begin-equation-int-x-x-dx-end-equation?state=edit-803

Vaktimiz olursa çözümü bir makale tarzında olan bu soruya verilmiş detaylı çözümleri ekleyebiliriz.


 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal