Gönderen Konu: 2022 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1  (Okunma sayısı 1699 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Negatif olmayan $a, b$ ve $c$ sayıları $a+b+c=2\sqrt{abc}$ koşulunu sağlıyor.
$$ bc \geq b + c $$
olduğunu gösteriniz.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: 2022 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1
« Yanıtla #1 : Ekim 10, 2022, 06:54:24 ös »
Çözüm[Lokman GÖKÇE]: Tersten başlayalım:

$  \qquad \quad bc \geq b+c \\
 \iff a + bc \geq a + b+c \\
 \iff a + bc \geq 2\sqrt{abc} \\
 \iff (a + bc)^2 \geq 4abc \\
 \iff a^2 + 2abc + (bc)^2 \geq 4abc \\
 \iff a^2 - 2abc + (bc)^2 \geq 0 \\
 \iff (a - bc)^2 \geq 0
$

olur. İşlemlerin sırasını ters çevirebiliriz. $(a - bc)^2 \geq 0$ doğru olduğundan, $bc \geq b+c$ elde edilir. Ayrıca, eşitlik durumu yalnızca $a=bc$ iken geçerlidir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 414
  • Karma: +8/-0
Ynt: 2022 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1
« Yanıtla #2 : Ekim 10, 2022, 09:38:06 ös »
Çözüm[Lokman GÖKÇE]: Tersten başlayalım:

$  \qquad \quad bc \geq b+c \\
 \iff a + bc \geq a + b+c \\
 \iff a + bc \geq 2\sqrt{abc} \\
 \iff (a + bc)^2 \geq 4abc \\
 \iff a^2 + 2abc + (bc)^2 \geq 4abc \\
 \iff a^2 - 2abc + (bc)^2 \geq 0 \\
 \iff (a - bc)^2 \geq 0
$

olur. İşlemlerin sırasını ters çevirebiliriz. $(a - bc)^2 \geq 0$ doğru olduğundan, $bc \geq b+c$ elde edilir. Ayrıca, eşitlik durumu yalnızca $a=bc$ iken geçerlidir.

Elinize sağlık hocam.
Üçüncü satırdaki $a+bc\ge2\sqrt{abc}$ eşitsizliğinin doğruluğuna $(\sqrt a - \sqrt{bc})^2 \ge 0$ olduğunu kullanarak da ulaşabilirdik. Veya aynı manaya gelen A.G.O eşitsizliğini de zikredebilirdik.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: 2022 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1
« Yanıtla #3 : Ekim 11, 2022, 12:26:41 öö »
Tebrikler Eray. Official çözüm kağıdını inceleme şansım oldu. Kağıtta verilen çözümlerden biri de sizin dediğiniz şekilde yapılıyordu.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal