2022 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 2

[Lokman Gökçe]

$ABCD$ dışbükey dörtgeninde $\angle A = \angle B = \angle C $ ve $|AD|=|CD|$. $[AB]$ kenarı üzerinde $|BE|=|AD|$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $CE$ doğrusunun $\angle BCD$ nin açıortayı olduğunu gösteriniz.

[alpercay]

$|AD|=|DC|=|BE|=a$, $|AE|=b$ diyelim ve $A$ ile $C$ noktasını birleştirelim.

$m(\angle CAD)=m(\angle ACD)=2\alpha$,  $m(\angle BAC)=2\theta$ dersek
$m(\angle ABC)=m(\angle BCD)=2\alpha+2\theta$ ve $m(\angle BAC)=m(\angle BCD)=2\theta$ olacağından $$|AB|=|BC|=a+b$$ olup $ABC$ ikizkenar üçgen olur.
$B$ ve $D$ noktalarını birleştirirsek $ABCD$ dörtgeni deltoit olacağından  $BD\perp AC$ ve  $BD$ doğrusu deltoitin simetri ekseni olduğundan $m(\angle ABD)=m(\angle DBC)=\alpha+\theta$ ve $m(\angle BDC)=90-2\alpha$ olmalıdır.
$|BC|=|AB|=a+b$,  $|CD|=|BE|=a$  ve $m(\angle BCD)=m(\angle EBC)=2\alpha+2\theta$  olduğundan $BCD\cong CBE$  olur. Sonuç olarak $m(\angle BDC)=m(\angle BEC)=90-2\alpha$ ve $m(\angle BEC)=m(\angle BDC)=90-2\alpha$ olduğundan $BEDC$ dörtgeni kirişler dörtgenidir. Dolayısıyla $$m(\angle EBD)=m(\angle ECD)=\alpha+\theta$$  olması gerektiğinden $$m(\angle ECD)=m(\angle ACD)+m(\angle ACE)$$   $$\alpha+\theta=2\alpha+m(\angle ACE)$$   $$m(\angle ACE)=\theta-\alpha$$ bulunur.

O zaman  $$m(\angle BCE)=2\theta-(\theta-\alpha)=\alpha+\theta$$  ve $$m(\angle ECD)=\theta-\alpha+2\alpha=\alpha+\theta$$ olacağından $$m(\angle ECB)=m(\angle ECD)=\alpha+\theta$$ eşitliğini elde ederiz. Yani  $CE$  doğrusu  $\angle BCD$ açısının açıortayı olur.