2022 Ulusal Ortaokul Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1

[Lokman Gökçe]

Negatif olmayan $a, b$ ve $c$ sayıları $a+b+c=2\sqrt{abc}$ koşulunu sağlıyor.
$$ bc \geq b + c $$
olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm[Lokman GÖKÇE]: Tersten başlayalım:

$  \qquad \quad bc \geq b+c \\
 \iff a + bc \geq a + b+c \\
 \iff a + bc \geq 2\sqrt{abc} \\
 \iff (a + bc)^2 \geq 4abc \\
 \iff a^2 + 2abc + (bc)^2 \geq 4abc \\
 \iff a^2 - 2abc + (bc)^2 \geq 0 \\
 \iff (a - bc)^2 \geq 0
$

olur. İşlemlerin sırasını ters çevirebiliriz. $(a - bc)^2 \geq 0$ doğru olduğundan, $bc \geq b+c$ elde edilir. Ayrıca, eşitlik durumu yalnızca $a=bc$ iken geçerlidir.

[Eray]

Çözüm[Lokman GÖKÇE]: Tersten başlayalım:

$  \qquad \quad bc \geq b+c \\
 \iff a + bc \geq a + b+c \\
 \iff a + bc \geq 2\sqrt{abc} \\
 \iff (a + bc)^2 \geq 4abc \\
 \iff a^2 + 2abc + (bc)^2 \geq 4abc \\
 \iff a^2 - 2abc + (bc)^2 \geq 0 \\
 \iff (a - bc)^2 \geq 0
$

olur. İşlemlerin sırasını ters çevirebiliriz. $(a - bc)^2 \geq 0$ doğru olduğundan, $bc \geq b+c$ elde edilir. Ayrıca, eşitlik durumu yalnızca $a=bc$ iken geçerlidir.

Elinize sağlık hocam.
Üçüncü satırdaki $a+bc\ge2\sqrt{abc}$ eşitsizliğinin doğruluğuna $(\sqrt a - \sqrt{bc})^2 \ge 0$ olduğunu kullanarak da ulaşabilirdik. Veya aynı manaya gelen A.G.O eşitsizliğini de zikredebilirdik.

[Lokman Gökçe]

Tebrikler Eray. Official çözüm kağıdını inceleme şansım oldu. Kağıtta verilen çözümlerden biri de sizin dediğiniz şekilde yapılıyordu.