Verilen denklemi düzenlersek $$\left(\frac{1}{2}\left(P(x)-\sqrt{q}Q(x)\right)\right)\left(\frac{1}{2}\left(P(x)+\sqrt{q}Q(x)\right)\right)=x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x+1$$ olacaktır. Sağ tarafın kökleri $i=1,2,\dots, q-1$ için $e^{\frac{2\pi i}{q}}$ şeklindedir veya $\zeta=e^{\frac{2\pi i}{q}}$ için $\zeta^i$ formatındadır. Yani, $$\left(\frac{1}{2}\left(P(x)-\sqrt{q}Q(x)\right)\right)\left(\frac{1}{2}\left(P(x)+\sqrt{q}Q(x)\right)\right)=\prod_{i=1}^{q-1}(x-\zeta^i)$$ olacaktır. Sağ tarafı uygun şekilde iki polinomun çarpımı olarak yazmaya çalışmalıyız. Bu ayırdığımız polinomların dereceleri aynı olmalıdır çünkü $P(x)-\sqrt{q}Q(x)$ ve $P(x)+\sqrt{q}Q(x)$ polinomlarının dereceleri aynı olmalıdır. Dolayısıyla ikisi de $\left(\frac{q-1}{2}\right)$. dereceden polinomlardır. Eşitliğin sağ tarafını eşit dereceli iki polinoma birçok farklı şekilde ayırabiliriz ama bir mantığa göre ayırmamız işimize gelecektir. $q$ modunda tam olarak $\frac{q-1}{2}$ tane karekalan olduğunu biliyoruz. Farklı ayırmalar ile belki farklı çözümler gelebilir ama bu çözümün devamında $i$'nin karekalan olup olmamasına göre ayıracağız. $R$ ile karekalanları $N$ ile karekalan olmayan kalanları gösterelim ($0$ karekalan değildir), $$\prod_{i=1}^{q-1}(x-\zeta^i)=\left(\prod (x-\zeta^R)\right)\left(\prod (x-\zeta^N)\right)$$ olarak ayıralım ve bu polinomların istenileni sağladığını gösterelim. Şimdi $\prod (x-\zeta^R)$ ve $\prod (x-\zeta^N)$ polinomlarını $x$'e bağlı polinomlar yerine $\{\zeta, \zeta^2,\dots,\zeta^{q-1}\}$ sayılarının linear kombinasyonları olarak yazalım. Örnek vermek gerekirse, $q=5$ için $$\prod (x-\zeta^R)=(x-\zeta)(x-\zeta^4)=x^2-(\zeta+\zeta^4)x+1=-(x^2+1)(\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4)-(\zeta+\zeta^4)x$$ $$=-(x^2+x+1)\zeta-(x^2+1)\zeta^2-(x^2+1)\zeta^3-(x^2+x+1)\zeta^4$$ Örnekten de anlaşılabileceği gibi $\zeta^i$'ye göre sabit terimleri $1=-\zeta-\zeta^2-\cdots-\zeta^{q-1}$ yazarak istediğimiz hale getirebiliriz. Ayrıca bazı katsayıların da aynı olduğu görülebilir. Gösterim kolaylığı için bu polinoma $F_1(\zeta)$ diyelim yani $x$'e bağlı $\zeta$'lı katsayılardan oluşan bir polinom yerine $\zeta$'ya bağlı $x$'li katsayılardan oluşan bir polinom gibi düşünelim. Karekalan olmayan polinoma da $F_2(\zeta)$ diyelim. Bu durumda eğer $m$ karekalansa $$F_1(\zeta^m)=F_1(\zeta)$$ $$F_2(\zeta^m)=F_2(\zeta)$$ elde edilir. Aynı polinom olduklarından, $F_1(\zeta)$ ve $F_2(\zeta)$'nın açılımında eğer $i\equiv mj\pmod{q}$ sağlanıyorsa $\zeta^i$ ve $\zeta^j$'nin katsayıları aynı olmalıdır. Buradan da yukarıdaki örnekte olduğı gibi karekalan olan kuvvetlerin katsayıları aynı olur. Benzer şekilde karekalan olmayanların da katsayıları aynıdır. Buradan $F_1$ ve $F_2$'yi $A_i$'ler tam sayı katsayılı polinomlar olmak üzere $$F_1(\zeta)=A_1(x)\sum \zeta^R+A_2(x)\sum \zeta^N\tag{1}$$ $$F_2(\zeta)=A_3(x)\sum \zeta^R+A_4(x)\sum \zeta^N\tag{2}$$ olarak yazabiliriz. Eğer $m$ karekalan değilse de $$F_1(\zeta^m)=F_2(\zeta)$$ olacaktır. Buradan da aslında $A_1\equiv A_4$ ve $A_2\equiv A_3$ olduğu ortaya çıkar.
Şimdi de $n_0=\sum \zeta^R$ ve $n_1=\sum \zeta^N$ diyelim. $$n_0+n_1=\sum_{i=1}^{q-1}\zeta^i=-1$$ $$n_0-n_1=\sum \zeta^R-\sum \zeta^N=\sum \left(\dfrac{R}{q}\right)\zeta^R+\sum \left(\dfrac{N}{q}\right)\zeta^N=\sum_{m=1}^{q-1} \left(\dfrac{m}{q}\right)\zeta^m$$ elde edilir. $n_0-n_1=G$ dersek $$G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{m_2=1}^{q-1}\left(\dfrac{m_1m_2}{q}\right)\zeta^{m_1+m_2}$$ olur. Tüm değişkenler $q$ modunda tekrar ediyor. Dolayısıyla $m_2\equiv m_1n\pmod{q}$ yazarsak $$G^2=\sum_{m_1=1}^{q-1}\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)}=\sum_{n=1}^{q-1}\sum_{m_1=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)\zeta^{m_1(n+1)}$$ olur. İç toplamda eğer $n\equiv -1\pmod{q}$ ise $$\sum_{m_1=1}^{q-1}\zeta^{m_1(n+1)}=q-1$$ değilse, $-1$ olacaktır. Dolayısıyla $G^2=q\left(\dfrac{-1}{q}\right)+\sum_{n=1}^{q-1}\left(\dfrac{n}{q}\right)(-1)=q\left(\dfrac{-1}{q}\right)$ olacaktır. $q$, $4k+1$ formatında olduğundan $G^2=q$ ve $G=\pm \sqrt{q}$ olarak bulunur. İşaretini bilmediğimizden şimdilik ona $\epsilon \sqrt{q}$ diyelim. Bu durumda $n_0=\frac{1}{2}(-1+\epsilon\sqrt{q})$ ve $n_1=\frac{1}{2}(-1-\epsilon\sqrt{q})$ bulunur. $(1)$ ve $(2)$'de yazarsak $$\prod (x-\zeta^R)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))+\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right)$$ $$\prod (x-\zeta^N)=\frac{1}{2}\left((-A_1(x)-A_2(x))-\epsilon\sqrt{q}(A_1(x)-A_2(x))\right)$$ bulunur. $-A_1(x)-A_2(x)=P(x)$ ve $\epsilon(A_1(x)-A_2(x))=Q(x)$ dersek istenilen sağlanır. Soru biter.
Sonuç 1: Eğer $q\equiv 3\pmod{4}$ olsaydı $G^2=-q$ olacağından aynı işlemleri yaparak $$P^2(x)+qQ^2(x)=4(x^{q-1}+x^{q-2}+\cdots+x+1)$$ olacak şekilde tam sayı katsayılı $P$ ve $Q$ polinomları bulabiliriz.
Sonuç 2: $G=n_0-n_1=\sum\zeta^R-\sum\zeta^N=1+2\sum\zeta^R$ olduğundan $$G=\sum_{m=0}^{q-1} \zeta^{m^2}$$ olur çünkü $m^2$ ifadesi $q$ modunda karekalanları tam olarak $2$ defa $m=0$ için de $0$'ı tam olarak bir kere alır.
Not 1: Sonuç $2$'yi genelleştirirsek $N$ pozitif tamsayısı ve $\zeta_N=e^{\frac{2\pi i}{N}}$ için $$\sum_{m=0}^{N-1} \zeta_N^{m^2}=\begin{cases} (1+i)\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 0\pmod{4}~~ \text{ise} \\ \sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 1\pmod{4}~~ \text{ise} \\ 0 \quad &\text{eğer} \, N\equiv 2\pmod{4}~~ \text{ise}\\ i\sqrt{N} \quad &\text{eğer} \, N\equiv 3\pmod{4}~~ \text{ise} \\ \end{cases}$$
Not 2: Not 1'in sonucu olarak eğer $q\equiv 1\pmod{4}$ ise $G=\sqrt{q}$, eğer $q\equiv 3\pmod{4}$ ise $G=i\sqrt{q}$ bulunur.
