2006 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 01

[matematikolimpiyati]

$n$ pozitif tam sayısının kaç farklı değeri için$,$

            $(n-210)$  ve  $(n+210)$

sayılarının ikisi de bir tam karedir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{En az 5}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

$b\geq a\geq 0$ için $n-210=a^2$ ve $n+210=b^2$ olsun. $b^2-a^2=420$ elde edilir. Bu şartı sağlayan herhangi bir $(a,b)$ ikilisi için $n=a^2+210>0$ olduğundan her $(a,b)$ çifti için tam olarak bir tane $n$ pozitif tamsayısı vardır. $$b^2-a^2=(b-a)(b+a)=420=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$$ olacaktır. $b-a$ ve $b+a$'nın paritesi aynı olduğundan ikisi de çifttir, yani $2^2$ çarpanları otomatik olarak dağıtılmıştır. Bu yüzden $105=3\dot 5\cdot 7$'yi iki çarpan olarak dağıtmalıyız. $(1,105),(3,35),(5,21),(7,15)$ şeklinde dağılacağından $4$ tane çözüm vardır.