$p$ ve $q$'nun pariteleri farklıdır. Eğer $p$ çiftse $p=2$ olmalıdır. $$2^a=1+5q^b\implies 2^a\equiv 1\pmod{5}\implies 4\mid a\implies 2^{a}\equiv 1+5\cdot q^b\equiv 1\pmod{3}\implies q=3$$ $a=4\alpha$ diyelim. $$2^{4\alpha}-1=(2^{\alpha}-1)(2^{\alpha}+1)(2^{2\alpha}+1)=5\cdot 3^b$$ olacaktır. $2^{2\alpha}+1\equiv 2\pmod{3}$ olduğundan $2^{2\alpha}+1=1,5$ olabilir. Buradan tek çözüm $\alpha=1$, yani $a=4$ bulunur. $\boxed{(p,q,a,b)=(2,3,4,1)}$ çözümü bulunur.
$p$ tekse $q=2$ olmalıdır. $$p^a-1=(p-1)(p^{a-1}+p^{a-2}+\cdots+1)=5\cdot 2^b$$ olacaktır. $p^{a-1}+p^{a-2}+\cdots+1$ kısmının paritesi $a$ ile aynıdır çünkü $a$ tane tek sayının toplamıdır. $a$ çift değilse $p^{a-1}+p^{a-2}+\cdots+1=1,5$ olmalıdır ancak $a>1$ olduğundan bu mümkün değildir. $a$ çift olmalıdır. Buradan $$5\cdot 2^b=\left(p^{a/2}-1\right)\left(p^{a/2}+1\right)$$ elde edilir. $m+k=b$ negatif olmayan tamsayıları için $\left(p^{a/2}-1, p^{a/2}+1\right)=(5\cdot 2^k,2^m)$ veya $(2^m, 5\cdot 2^k)$ olacaktır. İki ihtimalde de aralarındaki fark $2$ olacağından $$|2^m-5\cdot 2^k|=2\implies \min\{k,m\}=1$$ olacaktır. Eğer $m=1$ ise $|5\cdot 2^{k}-2|=2$ olur fakat çözüm gelmez. $k=1$ ise $|2^m-10|=2$ elde edilir. Sadece $m=3$ çözümdür. Buradan $\left(p^{a/2}-1, p^{a/2}+1\right)=(8,10)$ ve $p^{a/2}=9$ elde edilir. $p$ asal olduğundan $p=3$ ve $a=4$'dür. $\boxed{(p,q,a,b)=(3,2,4,4)}$ çözümü elde edilir. Tüm çözümler bunlardır.
